Question

सभी $n \in N$ के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए की : $1.2+2.2^{2}+3.2^{3}+...+n.2^{n}=(n-1)2^{n+1}+2$.

Answer 1

Answer:

Step-by-step explanation:

1)  माना कि  $P(n)=1.2+2.2^{2}+3.2^{3}+....+n.2^{n}$

                            $=(n-1)2^{n+1}+2$

2)  सिद्ध करना है कि  P(1)   सत्य है। अतः  n=1   के लिए  

$R.H.S.=(n-1)2^{n+1}+2\\\\=(1-1)2^{1+1}+2=2=1.2=T_{1}$

अतः  P(1)  सत्य है।  

3)  माना कि P(k) सत्य है। या  

$1.2+2.2^{2}+3.2^{3}+.....+k.2^{k}=(k-1)2^{k+1}+2$

4)  सिद्ध करना है कि P(k+1)  सत्य है। या  

$1.2+2.2^{2}+3.2^{3}+.....+k.2^{k}+(k+1)2^{k+1}=k.2^{k+2}+2$

∴

$L.H.S.=1.2+2.2^{2}+3.2^{3}+....+(k+1)2^{k+1}\\=[(k-1)2^{k+1}+2]+(k+1)2^{k+1}\\=(k+1+k-1)2^{k+1}+2\\=2k.2^{k+1}+2\\=k.2^{k+2}+2=R.H.S.$

अतः P(k+1) सत्य है।  

5)  जब P(n) , n=1  तथा   n = k+1  के लिए सत्य है तो यह   n= k के लिए भी सत्य होगा जबकि  n∈N