Question

सभी $n \in N$ के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए की : $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{2^n}=1-\dfrac{1}{2^n}$.

Answer 1

Answer:

Step-by-step explanation:

1 )  माना कि  -

$P(n)=\frac{1}{2} +\frac{1}{4} +\frac{1}{8} +.....+\frac{1}{2^{n}} =1-\frac{1}{2^{n}}$

2)  सिद्ध करना है कि  P(1)  सत्य है। अतः  n = 1  के लिए  

$R.H.S.=1-\frac{1}{2^{n}} =1-\frac{1}{2^{1}} =\frac{1}{2} =T_{1}$

अतः  P(1)  सत्य है।  

3)  माना कि  P(k) भी सत्य होगा । या  

$\frac{1}{2} +\frac{1}{4} +\frac{1}{8} +....+\frac{1}{2^{k}} =1-\frac{1}{2^{k}}$

4)  सिद्ध करना है कि   P(k+1) सत्य है। या  

$\frac{1}{2} +\frac{1}{4} +\frac{1}{8} +....+\frac{1}{2^{k+1}} =1-\frac{1}{2^{k+1}}$

∴

$L.H.S.=\frac{1}{2} +\frac{1}{4} +\frac{1}{8} +....+\frac{1}{2^{k+1}}\\\\=1-\frac{1}{2^{k}}+\frac{1}{2^{k+1}}  \\\\=1-[\frac{1}{2^{k}} -\frac{1}{2^{k+1}} ]\\=1-[\frac{2-1}{2^{k+1}} ]\\=1-\frac{1}{2^{k+1}} =R.H.S.$

अतः  P(k+1)  सत्य है।  

5)  जब  P(n) ,  n = 1   तथा  n = k+1  के लिए सत्य है तो यह  n = k के लिए भी सत्य होगा जबकि  n∈N