समुच्चय (1, 2, 3, ... ,n) से स्वयं तक के समस्त आच्छादक फलनों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Answers
Given : समुच्चय (1, 2, 3, ... ,n)
To find : समस्त आच्छादक फलनों की संख्या ज्ञात कीजिए
Solution :
आच्छादक (onto ) अथवा आच्छादी (surjective) फलन यदि प्रत्येक y ∈ Y के लिए
X में एक ऐसे अवयव का अस्तित्व है की f(x) = y
A = समुच्चय (1, 2, 3, ... ,n) B = समुच्चय (1, 2, 3, ... ,n)
आच्छादक फलनों की संख्या -
1 से n तरीके
2 से n - 1 तरीके
3 से n - 2 तरीके
-
--
--
n - 1 से 2 तरीके
n से 1 तरीके
समस्त आच्छादक फलनों की संख्या = n (n-1)(n-2)..................................(3)(2)(1)
= n!
n!
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Answer:
आपका प्रश्न
समुच्चय {1, 2, 3,…., n} से स्वयं तक के समस्त आच्छादक फलनों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना Y : 1 2 3….n
तथा X : 1 2 3…..n
समुच्चय – Y का प्रत्येक अवयव समुच्चय X में किसी – न – किसी अवयव का प्रतिबिम्ब है।
इस प्रकार x और Y के अवयवों में सम्बन्ध
n (n – 1)(n – 2)… 3 2 1 = n! तरीकों से हो सकता है।
अतः द्विआधारी संक्रियाओं की संख्या n! है।