Question

समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण BD पर दो बिंदु P और Q इस प्रकार स्थित हैं कि DP = BQ है। (देखिए आकृति 8.20)। दर्शाइए कि
(i) $\Delta APD \cong \Delta CQB$
(ii) $AP = CQ$
(iii) $\Delta AQB \cong \Delta CPD$
(iv) $AQ = CP$
(v) APCQ एक समांतर चतुर्भुज है।

Answer 1

Step-by-step explanation:

 दिया है  :  

समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण BD पर दो बिंदु P और Q इस प्रकार स्थित हैं कि DP = BQ है।  

 

सिद्ध करना है :  

(i) ΔAPD ≅ ΔCQB  

(ii) AP = CQ  

(iii) ΔAQB ≅ ΔCPD  

(iv) AQ = CP  

(v)  APCQ एक समांतर चतुर्भुज है।  

 

उपपत्ति :

(i) ΔAPD तथा ΔCQB में,

DP = BQ        (दिया है )

∠ADP = ∠CBQ    (∵ AD || BC , एकांतर अंत: कोण)  

AD = BC  (समांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजा समान होती है)  

∴ ΔAPD ≅ ΔCQB            (SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा )

 

(ii)  ∵ ΔAPD ≅ ΔCQB.

∴ AP = CQ                    (CPCT द्वारा)

 

(iii) ΔAQB तथा ΔCPD में,

BQ = DP   (दिया है )

∠ABQ = ∠CDP     (∵ AB || BC, एकांतर अंत: कोण)  

AB = CD              (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजा समान होती है)  

∴ ΔAQB ≅ ΔCPD              (SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा )

 

(iv) ∵ ΔAQB ≅ ΔCPD

∴ AQ = CP                   (CPCT द्वारा)

 

(v) अब, ΔAPQ तथा ΔCQP में,

AQ = CP  (भाग (iv) से)  

AP = CQ    (भाग (iii) से)  

PQ = QP   (उभयनिष्ठ)

∴ ΔAPQ ≅ ΔPCQ (SSS सर्वांगसमता नियम द्वारा )

तब ∠APQ =  ∠CQP तथा ∠AQP = ∠CPQ  (CPCT द्वारा)

 

जब एक तिर्यक रेखा PQ  रेखाखंड AP तथा QC को प्रतिच्छेद करती है , तब यह सभी समान को एकांतर कोण के युग्म बनाते हैं

∴ AP || CQ तथा AQ || CP

अब , चतुर्भुज APCQ के सम्मुख भुजाओं के दोनों युग्म समांतर है‌ ।

अतः APCQ एक समांतर चतुर्भुज है।

आशा है कि यह उत्तर आपकी मदद करेगा।।।।

 

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