३. समतल 3x+y+5z = 0 और शंकु 6yz - 2zx + 5xy = 0 क प्रतिच्छेद रेखाओं के बीच का
कोण ज्ञात कीजिए।
Answers
समतल 3x+y+5z = 0 और शंकु 6yz - 2zx + 5xy = 0 क प्रतिच्छेद रेखाओं के बीच का
कोण ज्ञात कीजिए।
समतल 3x+y+5z = 0 और शंकु 6yz - 2zx + 5xy = 0 क प्रतिच्छेद रेखाओं के बीच का कोण cos⁻¹(1/6) आएगा।
दिया हुआ,
समतल 3x+y+5z = 0
शंकु 6yz - 2zx + 5xy = 0
निकालने हेतु,
प्रतिच्छेद रेखाओं के बीच का कोण।
समाधान,
मान लेते हैं कि समतल 3x+y+5z=0,शंकु 6yz-2zx+5xy=0 को x/l = y/m = z/n रेखा में काटता है। अर्थात्
⇒ 3l + m + 5n = 0 --------------------------------------(1)
⇒ 6mn - 2ln + 5lm = 0 --------------------------------------(2)
n का विलोपन (1) व (2) से करने पर,
⇒ 6m(-3l + m)/5 - 2l(-3l + m)/5 + 5lm = 0
⇒ -18lm - 6m² + 6l² + 2lm + 25lm = 0
⇒ 6l² + 9lm - 6m² = 0
⇒ (l + 2m)(6l - 3m) = 0
⇒ l + 2m = 0, 2l - m = 0
l + 2m = 0 (1) में रखने पर,
⇒ 3m/2 + m + 5n = 0
⇒ 5m/2 + 5n = 0
⇒ 1m/2 = -n
⇒ 2l = m = -2n
⇒ l₁/1 = m₁/2 = n₁/-1
और 2l - m = 0 (1) में रखने पर,
⇒ 3(-2m) + m + 5n = 0
⇒ -6m + m + 5n = 0
⇒ -5m + 5n = 0
⇒ l₂/2 = m₂/-1 = n₂/-1
यदि दोनों रेखाओं के बीच कोण θ है तो,
cos θ = (l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂)/√(l₁² + m₁² + n₁²)√(l₂² + m₂² + n₂²)
⇒ cos θ = (2 -2 + 1)/√(1 + 4 +1)√(4 + 1 +1)
⇒ cos θ = 1/6
⇒ θ = cos(1/6)
अतः समतल 3x+y+5z = 0 और शंकु 6yz - 2zx + 5xy = 0 क प्रतिच्छेद रेखाओं के बीच का कोण cos⁻¹(1/6) आएगा।
#SPJ2