सत्यापित कीजिए कि निम्न त्रिघात बहुपदों के साथ दी गई संख्याएँ उसकी शून्यक हैं। प्रत्येक
स्थिति में शून्यकों और गुणांकों के बीच के संबंध को भी सत्यापित कीजिए :
(i) 2x3 +x2-5x+ 2; 1/2 1, - 2
(ii) x3-4x2+55x- 2; 2, 1, 1
Answers
Answer with Step-by-step explanation:
(i) दिया है : 2x³ + x² -5x + 2
मान लीजिए ,p(x) = 2x³ + x² -5x + 2
अब, p(½) = 2(½)³ + (½)² - 5(½) + 2
= 2 × ⅛ + ¼ - 5/2 + 2
= ¼ + ¼ - 5/2 + 2
= (1 + 1 - 10 + 8)/4
= (2 - 2)/4
= 0/4
= 0
½, p(x) का एक शून्यक है।
और p(1) = 2(1)³ + (1)² - 5(1) + 2
= 2 + 1 - 5 + 2
= 3 - 3
= 0
1, p(x) का एक शून्यक है।
साथ ही, p(-2) = 2(-2)³ + (-2)² - 5(-2) + 2
= 2 × - 8 + 4 + 10 + 2
= - 16 + 16
= 0
-2, p(x) का एक शून्यक है।
अतः, 1/2, 1 तथा -2 दिए गए बहुपद के शून्यक है।
दिए गए बहुपद की तुलना, ax³ + bx² + cx + d, से करने पर, a = 2, b = 1, c = -5, d = 2
मान लीजिए , α = 1/2, β = 1 and γ = -2
अब,
-b/a = α + β + γ
⇒ 1/2 = 1/2 + 1 - 2
⇒ 1/2 = 1/2
c/a = αβ + βγ + γα
⇒ -5/2 = (1/2 × 1) + (1 × -2) + (-2 × 1/2)
⇒ -5/2 = 1/2 - 2 - 1
⇒ -5/2 = -5/2
-d/a = αβγ
⇒ -2/2 = (1/2 × 1 × -2)
⇒ -1 = - 1
अतः, शून्यकों और गुणांकों के बीच के संबंध सत्यापित किया।
(ii) दिया है : x³ - 4x² + 5x - 2
मान लीजिए ,p(x) = p(x) = x³ - 4x² + 5x - 2
अब, p(2) = 2³ - 4(2)² + 5(2) - 2
= 8 - 16 + 10 - 2
= 0
2 , p(x) का एक शून्यक है।
p(1) = 1³ - 4(1)² + 5(1) - 2
= 1 - 4 + 5 - 2
= 0
1, p(x) का एक शून्यक है।
p(1) = 1³ - 4(1)² + 5(1) - 2
= 1 - 4 + 5 - 2
= 0
1, p(x) का एक शून्यक है।
अतः, 2, 1 तथा 1 दिए गए बहुपद के शून्यक है।
दिए गए बहुपद की तुलना, ax³ + bx² + cx + d, से करने पर, a = 1, b = - 4, c = 5, d = -2
मान लीजिए , α = 2, β = 1 and γ = 1
अब,,
-b/a = α+β+γ
⇒ 4/1 = 2 + 1 + 1
⇒ 4 = 4
c/a = αβ+βγ+γα
⇒ 5/1 = (2 × 1) + (1 × 1) + (1 × 2)
⇒ 5 = 2 + 1 + 2
⇒ 5 = 5
-d/a = αβγ
⇒ 2/1 = (2 × 1 × 1)
⇒ 2 = 2
अतः, शून्यकों और गुणांकों के बीच के संबंध सत्यापित किया।
आशा है कि यह उत्तर आपकी अवश्य मदद करेगा।।।।
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