Question

SEC THETA = X+1/4X .THEN PROVE THAT SEC THETA+ TAN THETA =2X OR 1/2X

Answer 1

Solution - 

Given – 
secA = x + 1/4x 

As 1 + tan^2A = sec^2A 

tan^2A = sec^2A – 1   

Therfore, tan^2A = (x + 1/4x)^2 – 1                
                            
                            = x^2 + 2*x*1/4x + 1/16x^2 – 1               
                            
                            = x^2 + 1/2 + 1/16x2 – 1                
                            
                            = x^2 + 1/16x^2 – 1/2                 
                           
                            = (x – 1/4x)^2 

Therefore, tan^2A = x – 1/4x or tan^2A = - (x – 1/4x) 

Substitute the value of secA and tanA in the given equation secA + tanA 

LHS = secA + tanA         
        
         = x + 1/4x + x – 1/4x         
         
         = 2x        
         
          = RHS 

Or 

LHS = secA + tanA        
        
         =x + 1/4x -x + 1/4x          
         
         = 2/4x          
         
         = 1/2x         
        
         = RHS 

Hence proved.

Answer 2

SecФ = x + 1/(4x)

sec²Ф = x² + 1/(16 x²) + 1/2
Tan²Ф = x² + 1/(16 x²) - 1/2             as sec² - tan² = 1
          = (x - 1/(4x) )²
tanФ = + (x - 1/(4x))   or   - (x - 1/(4x) )

sec Ф + tanФ =  2x  or    1/(4x)  + 1/(4x) = 1/(2x)