Question

show that cos 3 thita - sin 3 thita =(cos thita + sin thita ) (1-2 sin 2 thita)​

Answer 1

Step-by-step explanation:

=cos3θ - sin3θ

=cos(2θ+θ) - sin(2θ+θ)

=(cos2θ.cosθ - sin2θ.sinθ) - (sin2θ.cosθ + cos2θ. sinθ)

=cos2θ.cosθ - sin2θ.sinθ - sin2θ.cosθ - cos2θ.sinθ

=cos2θ(cosθ - sinθ) - sin2θ(sinθ + cosθ)

=(cos²θ - sin²θ)(cosθ - sinθ) - sin2θ(sinθ+cosθ)

=(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ)(cosθ-sinθ) - sin2θ(sinθ+cosθ)

=(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ)² - sin2θ(sinθ+cosθ)

=(cosθ+sinθ)(cos²θ+sin²θ-2sinθcosθ) - sin2θ(sinθ+cosθ)

=(cosθ+sinθ)(1-sin2θ) - sin2θ(sinθ+cosθ)

=(cosθ+sinθ) - sin2θ(cosθ+sinθ) - sin2θ(sinθ+cosθ)

=(cosθ+sinθ) - 2sin2θ(cosθ+sinθ)

=(cosθ+sinθ)(1-2sin2θ)

Answer 2

EXPLANATION.

Show that.

⇒ cos3θ - sin3θ = (cosθ + sinθ)(1 - 2sin2θ).

As we know that,

Formula of :

⇒ sin3θ = 3sinθ - 4sin³θ.

⇒ cos3θ = 4cos³θ - 3cosθ.

⇒ sin2θ = 2sinθcosθ.

⇒ (a³ + b³) = (a + b)(a² - ab + b²).

Using this identities in this question, we get.

We solve L.H.S of the expression, we get.

⇒ cos3θ - sin3θ = [4cos³ - 3cosθ] - [3sinθ - 4sin³θ].

⇒ cos3θ - sin3θ = 4cos³θ - 3cosθ - 3sinθ + 4sin³θ.

⇒ cos3θ - sin3θ = 4cos³θ + 4sin³θ - 3cosθ - 3sinθ.

⇒ cos3θ - sin3θ = 4(cos³θ + sin³θ) - 3(cosθ + sinθ).

⇒ cos3θ - sin3θ = 4[(cosθ + sinθ)(cos²θ + sin²θ - cosθsinθ)] - 3(cosθ + sinθ).

⇒ cos3θ - sin3θ = 4[(cosθ + sinθ)(1 - cosθsinθ)] - 3(cosθ + sinθ).

⇒ cos3θ - sin3θ = (cosθ + sinθ)[4(1 - cosθsinθ) - 3].

⇒ cos3θ - sin3θ = (cosθ + sinθ)[4 - 4cosθsinθ - 3].

⇒ cos3θ - sin3θ = (cosθ + sinθ)[1 - 4cosθsinθ].

⇒ cos3θ - sin3θ = (cosθ + sinθ)[1 - 2 x 2cosθsinθ].

⇒ cos3θ - sin3θ = (cosθ + sinθ)(1 - 2sin2θ).

Hence proved.