Question

Show that n³+1 will never leave a remainder 3 when divided by 4, where 'n' is a positive integer.

Answer 1

$\underline{\textbf{Given:}}$

$\mathsf{n^3+1\;where\;n\;is\;positive\;integerr}$

$\underline{\textbf{To prove:}}$

$\mathsf{n^3+1\;will\;never\;leave\;a\;remainder\;3}$

$\underline{\textbf{Solution:}}$

$\underline{\textsf{Case(i): n is odd}}$

$\mathsf{Then,\;n=2k+1\;k=0,1,2\;.\;.\;.}$

$\mathsf{n^3+1}$

$\mathsf{=(2k+1)^3+1}$

$\mathsf{=(8k^3+12k^2+6k+1)+1}$

$\mathsf{=8k^3+12k^2+6k+2}$

$\mathsf{=(8k^3+12k^2+4k)+2k+2}$

$\mathsf{=4(2k^3+2k^2+k)+2(k+1)}$

$\mathsf{=a\;multiple\;of\;4+2(k+1)}$

$\mathsf{Remainder=2(k+1)\;is\;an\;even\;number}$

$\underline{\textsf{Case(ii): n is even }}$

$\mathsf{Then,\;n=2k\;where\;k=1,2,3\;.\;.}$

$\mathsf{n^3+1}$

$\mathsf{=(2k)^3+1}$

$\mathsf{=8k^3+1}$

$\mathsf{=4(2k^3)+1}$

$\mathsf{=a\;multiple\;of\;4+1}$

$\mathsf{Remainder=1}$

$\textsf{In both the cases, the remainder is not 3}$

$\therefore\mathsf{n^3+1\;}\textsf{will never leave a remainder 3}$

$\textsf{when divided by 4}$

$\underline{\textbf{Find more:}}$