Question

Show that the curve y= (1-x)/(1+x^2) has three points of inflexion which lies

on a straight line.​

Answer 1

Answer:

y=1+x1+x2,

y=1+x1+x2, y′=y(11+x−2x1+x2)

y=1+x1+x2, y′=y(11+x−2x1+x2) =11+x2−2x(1+x)(1+x2)2,

y=1+x1+x2, y′=y(11+x−2x1+x2) =11+x2−2x(1+x)(1+x2)2,y′′=−2x(1+x2)2

y=1+x1+x2, y′=y(11+x−2x1+x2) =11+x2−2x(1+x)(1+x2)2,y′′=−2x(1+x2)2−2x(1+x)(1+x2)2(1x+11+x−2(1+x2)2x(1+x2)2)

y=1+x1+x2, y′=y(11+x−2x1+x2) =11+x2−2x(1+x)(1+x2)2,y′′=−2x(1+x2)2−2x(1+x)(1+x2)2(1x+11+x−2(1+x2)2x(1+x2)2)=−4x(1+x2)2−2(1+x)(1+x2)2+8x2(1+x)(1+x2)3

y=1+x1+x2, y′=y(11+x−2x1+x2) =11+x2−2x(1+x)(1+x2)2,y′′=−2x(1+x2)2−2x(1+x)(1+x2)2(1x+11+x−2(1+x2)2x(1+x2)2)=−4x(1+x2)2−2(1+x)(1+x2)2+8x2(1+x)(1+x2)3=−(2+6x)(1+x2)−8x2(1+x)(1+x2)3

y=1+x1+x2, y′=y(11+x−2x1+x2) =11+x2−2x(1+x)(1+x2)2,y′′=−2x(1+x2)2−2x(1+x)(1+x2)2(1x+11+x−2(1+x2)2x(1+x2)2)=−4x(1+x2)2−2(1+x)(1+x2)2+8x2(1+x)(1+x2)3=−(2+6x)(1+x2)−8x2(1+x)(1+x2)3=−2+6x−6x2−2x3(1+x2)3

y=1+x1+x2, y′=y(11+x−2x1+x2) =11+x2−2x(1+x)(1+x2)2,y′′=−2x(1+x2)2−2x(1+x)(1+x2)2(1x+11+x−2(1+x2)2x(1+x2)2)=−4x(1+x2)2−2(1+x)(1+x2)2+8x2(1+x)(1+x2)3=−(2+6x)(1+x2)−8x2(1+x)(1+x2)3=−2+6x−6x2−2x3(1+x2)3=2x3+3x2−3x−1(1+x2)3

y=1+x1+x2, y′=y(11+x−2x1+x2) =11+x2−2x(1+x)(1+x2)2,y′′=−2x(1+x2)2−2x(1+x)(1+x2)2(1x+11+x−2(1+x2)2x(1+x2)2)=−4x(1+x2)2−2(1+x)(1+x2)2+8x2(1+x)(1+x2)3=−(2+6x)(1+x2)−8x2(1+x)(1+x2)3=−2+6x−6x2−2x3(1+x2)3=2x3+3x2−3x−1(1+x2)3=2(x−1)(x2+4x+1)(1+x2)3.

y=1+x1+x2, y′=y(11+x−2x1+x2) =11+x2−2x(1+x)(1+x2)2,y′′=−2x(1+x2)2−2x(1+x)(1+x2)2(1x+11+x−2(1+x2)2x(1+x2)2)=−4x(1+x2)2−2(1+x)(1+x2)2+8x2(1+x)(1+x2)3=−(2+6x)(1+x2)−8x2(1+x)(1+x2)3=−2+6x−6x2−2x3(1+x2)3=2x3+3x2−3x−1(1+x2)3=2(x−1)(x2+4x+1)(1+x2)3.Three inflections:

y=1+x1+x2, y′=y(11+x−2x1+x2) =11+x2−2x(1+x)(1+x2)2,y′′=−2x(1+x2)2−2x(1+x)(1+x2)2(1x+11+x−2(1+x2)2x(1+x2)2)=−4x(1+x2)2−2(1+x)(1+x2)2+8x2(1+x)(1+x2)3=−(2+6x)(1+x2)−8x2(1+x)(1+x2)3=−2+6x−6x2−2x3(1+x2)3=2x3+3x2−3x−1(1+x2)3=2(x−1)(x2+4x+1)(1+x2)3.Three inflections:x=1, y=1,

y=1+x1+x2, y′=y(11+x−2x1+x2) =11+x2−2x(1+x)(1+x2)2,y′′=−2x(1+x2)2−2x(1+x)(1+x2)2(1x+11+x−2(1+x2)2x(1+x2)2)=−4x(1+x2)2−2(1+x)(1+x2)2+8x2(1+x)(1+x2)3=−(2+6x)(1+x2)−8x2(1+x)(1+x2)3=−2+6x−6x2−2x3(1+x2)3=2x3+3x2−3x−1(1+x2)3=2(x−1)(x2+4x+1)(1+x2)3.Three inflections:x=1, y=1, x=−2−3–√, y=−1+3–√8+43–√

y=1+x1+x2, y′=y(11+x−2x1+x2) =11+x2−2x(1+x)(1+x2)2,y′′=−2x(1+x2)2−2x(1+x)(1+x2)2(1x+11+x−2(1+x2)2x(1+x2)2)=−4x(1+x2)2−2(1+x)(1+x2)2+8x2(1+x)(1+x2)3=−(2+6x)(1+x2)−8x2(1+x)(1+x2)3=−2+6x−6x2−2x3(1+x2)3=2x3+3x2−3x−1(1+x2)3=2(x−1)(x2+4x+1)(1+x2)3.Three inflections:x=1, y=1, x=−2−3–√, y=−1+3–√8+43–√=−(1+3–√)(8−43–√)16=−3–√−14,

y=1+x1+x2, y′=y(11+x−2x1+x2) =11+x2−2x(1+x)(1+x2)2,y′′=−2x(1+x2)2−2x(1+x)(1+x2)2(1x+11+x−2(1+x2)2x(1+x2)2)=−4x(1+x2)2−2(1+x)(1+x2)2+8x2(1+x)(1+x2)3=−(2+6x)(1+x2)−8x2(1+x)(1+x2)3=−2+6x−6x2−2x3(1+x2)3=2x3+3x2−3x−1(1+x2)3=2(x−1)(x2+4x+1)(1+x2)3.Three inflections:x=1, y=1, x=−2−3–√, y=−1+3–√8+43–√=−(1+3–√)(8−43–√)16=−3–√−14,x=−2+3–√, y=3–√+14.

y=1+x1+x2, y′=y(11+x−2x1+x2) =11+x2−2x(1+x)(1+x2)2,y′′=−2x(1+x2)2−2x(1+x)(1+x2)2(1x+11+x−2(1+x2)2x(1+x2)2)=−4x(1+x2)2−2(1+x)(1+x2)2+8x2(1+x)(1+x2)3=−(2+6x)(1+x2)−8x2(1+x)(1+x2)3=−2+6x−6x2−2x3(1+x2)3=2x3+3x2−3x−1(1+x2)3=2(x−1)(x2+4x+1)(1+x2)3.Three inflections:x=1, y=1, x=−2−3–√, y=−1+3–√8+43–√=−(1+3–√)(8−43–√)16=−3–√−14,x=−2+3–√, y=3–√+14.All three inflections lie on 4y−x=3.

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