Question

Show that the images of the complex numbers 3+2i, 5i, -3+2i, -i form a square.​

Answer 1

$\underline{\textsf{Given:}}$

$\textsf{Points are 3+2i, 5i, -3+2i, -i}$

$\underline{\textsf{To prove:}}$

$\textsf{The given complex numbers form a square}$

$\underline{\textsf{Solution:}}$

$\textsf{Let A,B,C and D be the points represented by the}$

$\textsf{complex numbers 3+2i, 5i, -3+2i and -i respectively}$

$\mathsf{AB=|(3+2i)-5i|}$

$\mathsf{AB=|3-3i|}$

$\mathsf{AB=\sqrt{3^2+(-3)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}}$

$\mathsf{BC=|5i-(-3+2i)|}$

$\mathsf{BC=|-3+3i|}$

$\mathsf{BC=\sqrt{(-3)^2+(3)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}}$

$\mathsf{CD=|(-3+2i)-i|}$

$\mathsf{CD=|-3-3i|}$

$\mathsf{CD=\sqrt{(-3)^2+(-3)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}}$

$\mathsf{AD=|(3+2i)+i|}$

$\mathsf{AD=|3+3i|}$

$\mathsf{AD=\sqrt{3^2+(-3)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}}$

$\mathsf{AB=BC=CD=AD}$

$\implies\textsf{All sides are equal}$

$\mathsf{AC=|(3+2i)-(-3+2i)|}$

$\mathsf{AC=|6|=6}$

$\textsf{Now}$

$\mathsf{AB^2+BC^2}$

$\mathsf{=18+18}$

$\mathsf{=36}$

$\mathsf{=AC^2}$

$\implies\mathsf{\angle{B}=90^{\circ}}$

$\textsf{Hence ABCD is a square}$