Show that the matrix is Hermitian where = [ 2 3 − 4 3 + 4 2 ]
Answers
Answer:
Solution
Given A=
⎣
⎢
⎢
⎡
2+3i
−3−i
3−2i
2
7
i
5
3−i
2+i
⎦
⎥
⎥
⎤
Transpose of the matrix A is,
A
T
=
⎣
⎢
⎢
⎡
2+3i
2
5
−3−i
7
3−i
3−2i
i
2+i
⎦
⎥
⎥
⎤
Thus, Conjugate of transpose of matrix A is,
A
T
ˉ
=
⎣
⎢
⎢
⎡
2−3i
2
5
−3+i
7
3+i
3+2i
−i
2−i
⎦
⎥
⎥
⎤
Now, Hermitian matrix P=
2
1
[A+
A
T
ˉ
]
∴P=
2
1
⎩
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎧
⎣
⎢
⎢
⎡
2+3i
−3−i
3−2i
2
7
i
5
3−i
2+i
⎦
⎥
⎥
⎤
+
⎣
⎢
⎢
⎡
2−3i
2
5
−3+i
7
3+i
3+2i
−i
2−i
⎦
⎥
⎥
⎤
⎭
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎫
∴P=
2
1
⎣
⎢
⎢
⎡
2+3i+2−3i
−3−i+2
3−2i+5
2−3+i
7+7
i+3+i
5+3+2i
3−i−i
2+i+2−i
⎦
⎥
⎥
⎤
∴P=
2
1
⎣
⎢
⎢
⎡
4
−1−i
8−2i
−1+i
14
2i+3
8+2i
3−2i
4
⎦
⎥
⎥
⎤
Similarly, Q=
2
1
{A−
A
T
ˉ
}
∴Q=
2
1
⎩
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎧
⎣
⎢
⎢
⎡
2+3i
−3−i
3−2i
2
7
i
5
3−i
2+i
⎦
⎥
⎥
⎤
−
⎣
⎢
⎢
⎡
2−3i
2
5
−3+i
7
3+i
3+2i
−i
2−i
⎦
⎥
⎥
⎤
⎭
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎫
∴Q=
2
1
⎣
⎢
⎢
⎡
2+3i−(2−3i)
−3−i−2
3−2i−5
2−(−3+i)
7−7
i−(3+i)
5−(3+2i)
3−i−(−i)
2+i−(2−i)
⎦
⎥
⎥
⎤
∴Q=
2
1
⎣
⎢
⎢
⎡
2+3i−2+3i
−3−i−2
3−2i−5
2+3−i
7−7
i−3−i
5−3−2i
3−i+i
2+i−2+i
⎦
⎥
⎥
⎤
∴Q=
2
1
⎣
⎢
⎢
⎡
6
−5−i
−2−2i
5−i
0
−3
2−2i
3
2i
⎦
⎥
⎥
⎤
Thus, A=P+Q