Question

Show that the points M(-1, 4), N(-5, 3), P(1-3) and Q(5,-2) are the vertices of a parallelogram.​

Answer 1

Required Answer

Let,

$\sf{x_1 = - 1 } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\: \: \: \sf{y_1 = 4} \\ \sf{x_2 = - 5} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf{y_2 = 3} \\ \: \: \: \: \sf{x_3 = 1} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf{y_3 = - 3} \\ \sf{x_4= 5} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf{y_4 = - 2}$

By using mid point formula.

$\sf{ \mid{\overline{MN}} \mid} = \sqrt{(y_2- y_1)^{2} + (x_2 - x_1)^{2}}$

$\: \: \:\: \: \: \: \: \: \:= \sqrt{(3- 4)^{2} + (-5 - (-1))^{2}}$

$\: \: \:\: \: \: \: \: \: \:= \sqrt{(- 1)^{2} + (-4)^{2}}$

$\: \: \:\: \: \: \: \: \: \:= \sqrt{1+ 16}$

$\: \:\: \: \: \: \: \: \: \:= \sqrt{17}$

$\sf{ \mid{\overline{NP}} \mid} = \sqrt{(y_3- y_2)^{2} + (x_3 - x_2)^{2}}$

$\: \: \:\: \: \: \: \: \: \:= \sqrt{(-3- 3)^{2} + (1 - (-5))^{2}}$

$\: \: \:\: \: \: \: \: \: \:= \sqrt{(6)^{2} + (6)^{2}}$

$\: \: \:\: \: \: \: \: \: \:= \sqrt{36+ 36}$

$\: \:\: \: \: \: \: \: \: \:= \sqrt{72}$

$\sf{ \mid{\overline{PQ}} \mid} = \sqrt{(y_4- y_3)^{2} + (x_4 - x_3)^{2}}$

$\: \: \:\: \: \: \: \: \: \:= \sqrt{(-2- (-3))^{2} + (5 - 1)^{2}}$

$\: \: \:\: \: \: \: \: \: \:= \sqrt{(1)^{2} + (4)^{2}}$

$\: \: \:\: \: \: \: \: \: \:= \sqrt{1+ 16}$

$\: \:\: \: \: \: \: \: \: \:= \sqrt{17}$

$\sf{ \mid{\overline{QM}} \mid} = \sqrt{(y_1- y_4)^{2} + (x_1- x_4)^{2}}$

$\: \: \:\: \: \: \: \: \: \:= \sqrt{(4 - (-2))^{2} + (-1 - 5)^{2}}$

$\: \: \:\: \: \: \: \: \: \:= \sqrt{(6)^{2} + (-6)^{2}}$

$\: \: \:\: \: \: \: \: \: \:= \sqrt{36+ 36}$

$\: \:\: \: \: \: \: \: \: \:= \sqrt{72}$

Hence,

$\mid{\overline{MN}}\mid=\mid{\overline{QP}}\mid$

$\mid{\overline{NP}}\mid=\mid{\overline{QM}}\mid$

$\underline\mathfrak\red{So\: given\: verticals\: are \:parallelogram.}$