Question

show that : [x^a/x^b]^a+b × [x^b/x^c]^b+c × [x^c/x^a]^c+a = 1​

Answer 1

Step-by-step explanation:

$( \frac{ {x}^{a} }{ {x}^{b} } ) ^{a + b} \times ( \frac{ {x}^{b} }{ {x}^{c} } ) ^{b + c} \times ({ \frac{ {x}^{c} }{ {x}^{a} } })^{c + a} \\ \\ = ({x}^{a - b} ) ^{ a+ b} \times ({x}^{b - c} ) {}^{b + c} \times ({x}^{c - a} ) {}^{ c+a } \\ \\ = {x}^{( a-b)(a + b) } \times {x}^{(b - c)(b + c)} \times {x}^{(c - a)(c + a)} \\ \\ = {x}^{ {a}^{2} - {b}^{2} } \times {x}^{ {b}^{2} - {c}^{2} } \times {x}^{ {c}^{2} - {a}^{2} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ = {x}^{ {a}^{2} - {b}^{2} + {b}^{2} - {c}^{2} + {c}^{2} - {a}^{2} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ = {x}^{0} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ = 1 \: \: \: \: \: \: (proved)\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \\ \\ using \: formula \: \: \frac{ {x}^{m} }{ {x}^{n} } = {x}^{ m- n} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: (x + y)(x - y) = {x}^{2} - {y}^{2} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: ({x}^{m} ) {}^{n} = {x}^{mn} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: {x}^{m} . {x}^{n} = {x}^{ m+ n} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: {x}^{0} = 1$

Answer 2

Step-by-step explanation:

$\bf \underline{Given-}$

$\sf{ \bigg( \frac{ {x}^{a} }{ {x}^{b} } \bigg )^{a + b} \times \bigg( \frac{ {x}^{b} }{ {x}^{c} } \bigg)^{b + c} \times \bigg( \frac{ {x}^{c} }{ {x}^{a}} \bigg) ^{c + a} }$

$\bf \underline{To \:show-}$

$\textsf{LHS = RHS}$

$\bf \underline{Solution-}$

$\textsf{We have,}$

$\sf{ LHS=\bigg( \frac{ {x}^{a} }{ {x}^{b} } \bigg )^{a + b} \times \bigg( \frac{ {x}^{b} }{ {x}^{c} } \bigg)^{b + c} \times \bigg( \frac{ {x}^{c} }{ {x}^{a}} \bigg) ^{c + a} }$

$\: \: \: \: \: \sf{ = \big( {x}^{a - b} \big) ^{a + b} \times \big( {x}^{b - c} \big) ^{b + c} \times \big( {x}^{c - a} \big {)}^{c + a} }$

$\: \: \: \: \: \sf{ = {x}^{ {a}^{2} - {b}^{2} } \times {x}^{ {b}^{2} - {c}^{2} } \times {x}^{ {c}^{2} - {a}^{2} } }$

$\: \: \: \: \: \sf{ = {x}^{ {a}^{2} - {b}^{2} + {b}^{2} - {c}^{2} + {c}^{2} - {a}^{2} } }$

$\: \: \: \: \: \sf{ = {x}^{0} }$

$\: \: \: \: \: \sf{ = 1 =RHS }$

$\bf \underline{Hence\: proved.}$