Question

simplify each of the following by rationalizing the denominator ​

Answer 1

✯ ʀᴇǫᴜɪʀᴇᴅ ᴀɴsᴡᴇʀ ✯

we will use some following algebraic identities;

$\boxed{ \red{ {(a + b)}^{2} = {a}^{2} + {b}^{2} + 2ab}} \\ \boxed{ \red{(a - b)(a + b) = {a}^{2} - {b}^{2} }} \\ \boxed{ \red{ {(a - b)}^{2} = {a}^{2} + {b}^{2} - 2ab}}$

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$\bold{i). \: \frac{7 + 3 \sqrt{5} }{7 - 3 \sqrt{5} }} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \implies \frac{(7 + 3 \sqrt{5}) \times (7 + 3 \sqrt{5} )}{(7 - 3 \sqrt{5} ) \times( 7 + 3 \sqrt{5}) }$

first we have to solve denominator;

$\implies \: \frac{ {(7 + 3 \sqrt{5)} }^{2} }{ {(7)}^{2} - {(3 \sqrt{5)} }^{2} }\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \implies \frac{{(7 + 3 \sqrt{5}) }^{2} }{49 - 9 \times 5} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \implies \: \frac{ {(7 + 3 \sqrt{5}) }^{2} }{49 - 45} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \implies \: \frac{ {(7 + 3 \sqrt{5)} }^{2} }{4} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

now, we have to solve numerator;

$\implies \frac{ {(7)}^{2} + {(3 \sqrt{5)} }^{2} + 2 \times 7 \times 3 \sqrt{5} }{4} \\ \\ \implies \: \frac{49 + 45 + 42 \sqrt{5} }{4} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \implies \: \frac{94 + 42 \sqrt{5} }{4} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \implies \: \frac{ \cancel{2}(47 + 21 \sqrt{5}) }{ \cancel{4}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \implies \boxed{ \bold \pink{\frac{47 + 21 \sqrt{5} }{2} }} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

_________________________

$\bold{ii). \: \frac{2 \sqrt{3} - \sqrt{5} }{2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{3} } } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \implies \frac{(2 \sqrt{3} - \sqrt{5}) \times (2 \sqrt{2} - 3 \sqrt{3} ) }{(2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{3} ) \times (2 \sqrt{2} - 3 \sqrt{3} )} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \implies \frac{2 \sqrt{3}(2 \sqrt{2} - 3 \sqrt{3} ) - \sqrt{5} (2 \sqrt{2} - 3 \sqrt{3} )}{(2 \sqrt{2 })^{2} - {(3 \sqrt{3} )}^{2} } \\ \\ \implies \: \frac{4 \sqrt{6} - 18 - 2 \sqrt{10} + 3 \sqrt{15 } }{8 - 27} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \implies \frac{4 \sqrt{6} - 18 - 2 \sqrt{10} + 3 \sqrt{15} }{ - 19} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \implies \boxed{ \bold \pink{ - \frac{4 \sqrt{6} + 18 + 2 \sqrt{10} - 3 \sqrt{15} }{ 19} }} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

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$\bold{iii). \: \frac{7 \sqrt{3} - 5 \sqrt{2} }{ \sqrt{48} + \sqrt{18} } } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \implies \: \frac{(7 \sqrt{3} - 5 \sqrt{2} ) \times ( \sqrt{48} - \sqrt{18} )}{ (\sqrt{48} + \sqrt{18} ) \times ( \sqrt{48} - \sqrt{18}) } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \implies \frac{7 \sqrt{3} ( \sqrt{48} - \sqrt{18} ) - 5 \sqrt{2} ( \sqrt{48} - \sqrt{18} )}{ {( \sqrt{48} )}^{2} - {( \sqrt{18} )}^{2} } \\ \\ \implies \frac{7 \sqrt{144} - 21 \sqrt{54} - 5 \sqrt{96} + 5 \sqrt{36} }{48 - 18} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \implies \frac{7 \times 12 - 21 \times 9 \sqrt{6} - 5 \times 4 \sqrt{6} + 5 \times 6 }{30} \: \\ \\ \implies \frac{84 - 189 \sqrt{6} - 20 \sqrt{6} + 30}{30} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \implies \frac{84 + 30 - 189 \sqrt{6} - 20 \sqrt{6} }{30} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \implies\: \boxed{ \pink {\bold{\frac{114 - 109 \sqrt{6} }{30}}}}\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$