Question

Sin 1+sin 2+sin3............sin89

Answer 1

Y = Sin 1° + sin 2° + sin 3° ...  + sin 88°  + sin 89°

Multiply both sides with 2 sin 1°.
2 Y sin 1°
  = 2 sin 1° sin 1° + 2 sin 2° sin 1° + 2 sin 3 sin 1°+ ...
                                + 2 sin 88° sin 1° + 2 sin 89 sin 1°

  = cos 0° - cos 2° + cos 1° - cos 3° + cos 2° - cos 4° + cos 3° - cos 5...
           ...  + cos 86 - cos 88° + cos 87° - cos 89° + cos 88° - cos 90°
  = 1 + cos 1° - cos 89°

Y = [1 + cos 1° - sin 1°] / (2 sin 1°) = 1/2 * [ cot 1/2°  - 1]