Question

Sin^4x+cos^4x=1-1÷2sin^2x​

Answer 1

Sin⁴x+cos⁴x

→ (sin²x)²+(cos²)²

→ (sin²x)²+(cos²)² +2sin²xcos²x - 2sin²xcos²x

→ (sin²x+cos²)²-2sin²xcos²

→ 1-2sin²xcos²x

→1-4sin²xcos²x/2

→1-sin²2x/2

LHS=RHS

Answer 2

Answer:

f(x)=sin²x+(1−sin²x)²

=1+sin²x−2sin²x+sin⁴x

=1−sin²x(1−sin²x)

=1−sin²xcos²x

$= 1 - ( \frac{sin²x}{2} )²$

sin²x∈[−1,1] 

⇒sin²2x∈[0,1] 

$⇒( \frac{sin2 x}{2} )² \: ∈ \: [0 \frac{1}{4} ]$

$0 \: \leqslant [ \frac{ \sin2x}{2} ]² \leqslant \frac{1}{4} </u></strong></p><p><strong><u>[tex]0 \: \leqslant [ \frac{ \sin2x}{2} ]² \leqslant \frac{1}{4}$

$⇒0≥−[ \frac{ \sin2x }{2} ]²≥− \frac{1}{4} </u></strong></p><p><strong><u>[tex]⇒0≥−[ \frac{ \sin2x }{2} ]²≥− \frac{1}{4}$

$⇒1≥1−[ \frac{ \sin2x }{2} ]²≥1− \frac{1}{4} </u></strong></p><p><strong><u>[tex]⇒1≥1−[ \frac{ \sin2x }{2} ]²≥1− \frac{1}{4}$

$⇒1≥f(x) \geqslant \frac{3}{4} </u></strong></p><p><strong><u>[tex]⇒1≥f(x) \geqslant \frac{3}{4}$

$⇒f(x) lies \: in [ \frac{4}{1} 3]$