Question

(sin 5x – 2 sin 3x + sin x)/(cos 5x - COS X) = tan x
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Answer 1

Using Formula: -

$= > cosC - cosD = 2sin( \frac{C + D}{2} ).sin( \frac{D - C}{2} ) \\ \\ \\ = > sinC + sinD = 2sin( \frac{C + D}{2} ).cos( \frac{C - D}{2} ) \\ \\ = > sin2x = 2sinx.cosx \\ \\ = > \frac{sinx}{cosx} = tanx$

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$NOW \\ \\ L.H.S. \\ \\ = > \frac{sin5x - 2sin3x + sinx}{cos5x - cosx } \\ \\ = > \frac{sin5x + sinx - 2sin3x}{cos5x - cosx} \\ \\ = > \frac{2sin3x.cos2x - 2sin3x}{2sin3x.sin( - 2x)} \\ \\ = > \frac{2sin3x(cos2x - 1)}{ - 2sin3x.sin2x} \\ \\ = > \frac{1 - cos2x}{sin2x} \\ \\ = > \frac{2 {sin}^{2}x }{2sinx.cosx} = \frac{sinx}{cosx} \\ \\ = > tanx \: \: \: \: \: \: \: [ANSWER]$

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Answer 2

Hey!! ☺

Here is your answer

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$\frac{sin \: 5x - 2 \: sin \: 3x \: + \: sin \: x}{cos \: 5x \: - \: cos \: x} = \: tan \: x$

Taking L.H.S

$\frac{sin \: 5x + \: sin \: x \: - 2 \: sin \: 3x}{cos \: 5x \: - \: cos \: x}$

$\frac{(sin \: 5x + \: sin \: x )\: - 2 \: sin \: 3x}{cos \: 5x \: - \: cos \: x}$

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Solving Numerator and Denominator Separately

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Sin 5x + Sin x

$using \: sin \: x \: + \: sin \: y \: = \: 2 \: sin \: \frac{x + y}{2} cos \: \frac{x - y}{2}$

Putting x = 5x and y = x

$2sin \: (\frac{5x \: + x}{2} ) \: cos \: ( \frac{5x - x}{2} )$

$2sin \: (\frac{6x}{2} ) \: cos \: ( \frac{4x}{2} )$

$2sin \: 3x \: cos \: 2x$

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Cos 5x - Cos x

$using \: cos \: x \: - \: cos \: y \: = \: - 2 \: sin \: \frac{x + y}{2} sin \: \frac{x - y}{2}$

Putting x = 5x and y = x

$- 2sin \: (\frac{5x \: + x}{2} ) \: sin \: ( \frac{5x - x}{2} )$

$- 2sin \: (\frac{6x}{2} ) \: sin \: ( \frac{4x}{2} )$

$- 2sin \: 3x\: sin \: 2x$

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Taking R.H.S

$\frac{sin \: 5x + \: sin \: x \: - 2 \: sin \: 3x}{cos \: 5x \: - \: cos \: x}$

Putting Values

$= \frac{2 \: \: sin \: 3x \: cos \: 2x \: - 2sin \: 3x}{ - 2sin \: 3x \: sin \: 2x}$

$= \frac{2 \: \: sin \: 3x \: (cos \: 2x \: - 1)}{ - 2sin \: 3x \: sin \: 2x}$

$= \frac{ (cos \: 2x \: - 1)}{ - sin \: 2x \:}$

$= \frac{ - (cos \: 2x \: - 1)}{ sin \: 2x \:}$

$= \frac{ 1 - cos \: 2x}{ sin \: 2x \:}$

$using \: cos \: 2x \: = 1 - {2 \: sin}^{2} x \\ and \: sin \: 2x = 2cos \: x \: sin \: x$

$= \frac{1 - (1 - 2 {sin}^{2}x) }{2 \: cos \: x \: sin \: x}$

$= \frac{0 + 2 {sin}^{2}x}{2 \: cos \: x \: sin \: x}$

$= \frac{2 {sin}^{2}x}{2 \: cos \: x \: sin \: x}$

$= \frac{sin \: x}{cos \: x}$

$= tan \: x$

= R.H.S

Hence, L.H.S = R.H.S

Hence Proved

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Thanks!! ✌