Question

sin3x/cosx + cos3x/sin x = 2Cot 2x​

Answer 1

Question :-

Prove that

$\rm \: \dfrac{sin3x}{cosx} + \dfrac{cos3x}{sinx} = 2 \: cot2x$

$\large\underline{\sf{Solution-}}$

Consider, LHS

$\rm \: \dfrac{sin3x}{cosx} + \dfrac{cos3x}{sinx}$

On taking LCM, we get

$\rm \:=  \: \dfrac{sin3x \: sinx \: + \: cos3x \: cosx}{cosx \: sinx}$

can be re-arranged as

$\rm \:=  \: \dfrac{cos3x \: cosx \: + \: sin3x \: sinx}{cosx \: sinx}$

We know,

$\boxed{\sf{  \:\rm \: cosxcosy + sinxsiny = cos(x - y) \: }}$

So, using this result, we get

$\rm \: =  \: \dfrac{cos(3x - x)}{sinx \: cosx}$

$\rm \: =  \: \dfrac{cos2x}{sinx \: cosx}$

$\rm \: =  \: \dfrac{2cos2x}{2 \: sinx \: cosx}$

$\rm \: =  \: \dfrac{2cos2x}{sin2x}$

$\rm \: =  \: 2 \: cot2x$

Hence,

$\rm\implies \:\boxed{\sf{  \: \: \rm \: \dfrac{sin3x}{cosx} + \dfrac{cos3x}{sinx} = 2 \: cot2x \: \: }}$

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Additional Information :-

$\boxed{\sf{  \:\rm \: cosxcosy - sinxsiny = cos(x + y) \: }}$

$\boxed{\sf{  \:\rm \: sin(x + y) = sinxcosy + sinycosx \: \: }}$

$\boxed{\sf{  \:\rm \: sin(x - y) = sinxcosy - sinycosx \: \: }}$

$\boxed{\sf{  \:\rm \: tan(x + y) = \frac{tanx + tany}{1 - tanx \: tany} \: \: }}$

$\boxed{\sf{  \:\rm \: tan(x - y) = \frac{tanx - tany}{1 + tanx \: tany} \: \: }}$

$\boxed{\sf{  \:\rm \: cot(x + y) = \frac{cotx \: coty - 1}{coty + cotx} \: \: }}$

$\boxed{\sf{  \:\rm \: cot(x - y) = \frac{cotx \: coty + 1}{coty - cotx} \: \: }}$

$\boxed{\sf{  \:\rm \: sin2x = 2sinxcosx = \frac{2tanx}{1 + {tan}^{2} x} \: \: }}$

$\boxed{\sf{  \:\rm \: cos2x = {cos}^{2}x - {sin}^{2}x = 1 - {2sin}^{2}x = {2cos}^{2}x - 1 = \frac{1 - {tan}^{2}x}{1 + {tan}^{2} x} \: }}$