Question

sin40 -sin180+sin160​

Answer 1

Answer:

$\sin \left(40^{\circ \:}\right)-\sin \left(180^{\circ \:}\right)+\sin \left(160^{\circ \:}\right)=\sin \left(100^{\circ \:}\right)\quad \begin{pmatrix}\mathrm{Decimal:}&0.98481\dots \end{pmatrix}$

Step-by-step explanation:

$\sin \left(40^{\circ \:}\right)-\sin \left(180^{\circ \:}\right)+\sin \left(160^{\circ \:}\right)$

$\mathrm{Use\:the\:following\:identity}:\quad \sin \left(s\right)+\sin \left(t\right)=2\cos \left(\dfrac{s-t}{2}\right)\sin \left(\dfrac{s+t}{2}\right)$

$\sin \left(40^{\circ \:}\right)+\sin \left(160^{\circ \:}\right)=2\cos \left(\dfrac{40^{\circ \:}-160^{\circ \:}}{2}\right)\sin \left(\dfrac{40^{\circ \:}+160^{\circ \:}}{2}\right)$

$=2\cos \left(\dfrac{40^{\circ \:}-160^{\circ \:}}{2}\right)\sin \left(\dfrac{40^{\circ \:}+160^{\circ \:}}{2}\right)-\sin \left(180^{\circ \:}\right)$

$\mathrm{Simplify}$

$=2\cos \left(-60^{\circ \:}\right)\sin \left(100^{\circ \:}\right)-\sin \left(180^{\circ \:}\right)$

$\mathrm{Use\:the\:following\:property:}\:\cos \left(-x\right)=\cos \left(x\right)$

$\cos \left(-60^{\circ \:}\right)=\cos \left(60^{\circ \:}\right)$

$=2\cos \left(60^{\circ \:}\right)\sin \left(100^{\circ \:}\right)-\sin \left(180^{\circ \:}\right)$

$\mathrm{Use\:the\:following\:trivial\:identity}:\quad \cos \left(60^{\circ \:}\right)=\dfrac{1}{2}$

$\mathrm{Use\:the\:following\:trivial\:identity}:\quad \sin \left(180^{\circ \:}\right)=0$

$=2\cdot \dfrac{1}{2}\sin \left(100^{\circ \:}\right)-0$

$\mathrm{Simplify}\:2\cdot \dfrac{1}{2}\sin \left(100^{\circ \:}\right)-0$

$2\cdot \dfrac{1}{2}\sin \left(100^{\circ \:}\right)-0$

$2\cdot \dfrac{1}{2}\sin \left(100^{\circ \:}\right)$

$\mathrm{Multiply\:fractions}:\quad \:a\cdot \dfrac{b}{c}=\dfrac{a\:\cdot \:b}{c}$

$=\dfrac{1\cdot \:2}{2}\sin \left(100^{\circ \:}\right)$

$\mathrm{Cancel\:the\:common\:factor:}\:2$

$=\sin \left(100^{\circ \:}\right)\cdot \:1$

$\mathrm{Multiply:}\:\sin \left(100^{\circ \:}\right)\cdot \:1=\sin \left(100^{\circ \:}\right)$

$=\sin \left(100^{\circ \:}\right)$

$=\sin \left(100^{\circ \:}\right)-0$

$\sin \left(100^{\circ \:}\right)-0=\sin \left(100^{\circ \:}\right)$

$=\sin \left(100^{\circ \:}\right)$