Question

(sina+cosa-1)(sina+cosa+1)
Please simplify it.

Answer 1

$\sf{\left(\sin \left(a\right)+\cos \left(a\right)-1\right)\left(\sin \left(a\right)+\cos \left(a\right)+1\right)}$

$=\sin \left(a\right)\sin \left(a\right)+\sin \left(a\right)\cos \left(a\right)+\sin \left(a\right)\cdot \:1+\cos \left(a\right)\sin \left(a\right)+\cos \left(a\right)\cos \left(a\right)+\cos \left(a\right)\cdot \:1=\sin \left(a\right)\sin \left(a\right)+\sin \left(a\right)\cos \left(a\right)+\sin \left(a\right)\cdot \:1+\cos \left(a\right)\sin \left(a\right)+\cos \left(a\right)\cos \left(a\right)+\cos \left(a\right)\cdot \:1$

$=\sin \left(a\right)\sin \left(a\right)+\sin \left(a\right)\cos \left(a\right)+1\cdot \sin \left(a\right)+\cos \left(a\right)\sin \left(a\right)+\cos \left(a\right)\cos \left(a\right)+1\cos \left(a\right)-1\cdot \sin \left(a\right)-1\cdot \cos \left(a\right)-1\cdot \:1$

$=\sin \left(a\right)\cos \left(a\right)+\cos \left(a\right)\sin \left(a\right)+\cos \left(a\right)\cos \left(a\right)+1\cdot \cos \left(a\right)-1\cdot \cos \left(a\right)+\sin \left(a\right)\sin \left(a\right)+1\cdot \sin \left(a\right)-1\cdot \sin \left(a\right)-1\cdot \:1$

$=2\cos \left(a\right)\sin \left(a\right)+\cos \left(a\right)\cos \left(a\right)+1\cdot \cos \left(a\right)-1\cdot \cos \left(a\right)+\sin \left(a\right)\sin \left(a\right)+1\cdot \sin \left(a\right)-1\cdot \sin \left(a\right)-1\cdot \:1$

$\sf{=2\cos \left(a\right)\sin \left(a\right)+\cos \left(a\right)\cos \left(a\right)+\sin \left(a\right)\sin \left(a\right)+1\cdot \sin \left(a\right)-1\cdot \sin \left(a\right)-1\cdot \:1}$

$\sf{=2\cos \left(a\right)\sin \left(a\right)+\cos \left(a\right)\cos \left(a\right)+\sin \left(a\right)\sin \left(a\right)-1\cdot \:1}$

$\sf{=2\cos \left(a\right)\sin \left(a\right)+\cos ^2\left(a\right)+\sin ^2\left(a\right)-1}$