Question

sinA+sin3A/cosA+cos 3A=tan2A prove​

Answer 1

$\mathsf{\frac{sinA+sin\,3A}{cosA+cos\,3A}}$

$\textsf{Using}$

$\boxed{\mathsf{sin\,3A=3\,sin\,A-4\,sin^3A}}$

$\boxed{\mathsf{cos\,3A=4\,cos^3A-3\,cos\,A}}$

$=\mathsf{\frac{sinA+3\,sin\,A-4\,sin^3A}{cosA+4\,cos^3A-3\,cos\,A}}$

$=\mathsf{\frac{4\,sin\,A-4\,sin^3A}{4\,cos^3A-2\,cos\,A}}$

$=\mathsf{\frac{4\,sin\,A(1-sin^2A)}{2\,cosA(2\,cos^2A-1)}}$

$=\mathsf{\frac{4\,sin\,A\,cos^2A}{2\,cosA(2\,cos^2A-1)}}$

$=\mathsf{\frac{2\,sin\,A\,cos\,A}{2\,cos^2A-1}}$

$\textsf{Using}$

$\boxed{\mathsf{sin\,2A=2\,sin\,A\,cos\,A}}$

$\boxed{\mathsf{cos\,2A=2\,cos^2A-1}}$

$=\mathsf{\frac{sin\,2A}{cos\,2A}}$

$=\mathsf{tan\,2A}$

$\implies\boxed{\mathsf{\frac{sinA+sin\,3A}{cosA+cos\,3A}}=tan\,2A}$