Question

Sinq +cosQ/(sinQ-cosQ)+sinQ-cosQ/sinq+cosq=2/2sin2Q-1

Answer 1

Answer:

To prove: $\frac{sin\,Q\,+\,cos\,Q}{sin\,Q\,-\,cos\,Q}+\frac{sin\,Q\,-\,cos\,Q}{sin\,Q\,+\,cos\,Q}=\frac{2}{2sin^2\,Q\,-\,1}$

Proof,

Consider

LHS  $=\,\frac{sin\,Q\,+\,cos\,Q}{sin\,Q\,-\,cos\,Q}+\frac{sin\,Q\,-\,cos\,Q}{sin\,Q\,+\,cos\,Q}$

        $=\,\frac{(sin\,Q\,+\,cos\,Q)^2\,+\,(sin\,Q\,-\,cos\,Q)^2}{(sin\,Q\,-\,cos\,Q)(sin\,Q\,+\,cos\,Q)}$

Using identity, $(x+y)^2=x^2+y^2+2xy\:,\:(x-y)^2=x^2+y^2-2xy\:and\:(x-y)(x+y)=x^2-y^2$  we get,

        $=\,\frac{(sin\,Q)^2\,+\,(cos\,Q)^2\,+\,2\,sin\,Q\,cos\,Q\,+\,(sin\,Q)^2\,+\,(cos\,Q)^2\,-\,2\,sin\,Q\,cos\,Q}{(sin\,Q)^2\,-\,(cos\,Q)^2}$

        $=\,\frac{(sin\,Q)^2\,+\,(cos\,Q)^2\,+\,(sin\,Q)^2\,+\,(cos\,Q)^2}{-\,((cos\,Q)^2\,-\,(sin\,Q)^2\,)}$

Now using trigonometric identity $sin^2\theta+cos^2\theta=1\:and\:cos\,2\theta=1-2\,sin^2\theta$  we get

        $=\,\frac{1\,+\,1}{-\,(1-2\,sin^2\,Q)}$

        $=\,\frac{2}{2\,sin^2\,Q-1}$

      = RHS

Hence Proved