Question

sinx +sin(120+x)- sin (120-x)

Answer 1

$\underline{\textbf{Given:}}$

$\mathsf{sinx+sin(120^\circ+x)-sin(120^\circ-x)}$

$\underline{\textbf{To simplify:}}$

$\mathsf{sinx+sin(120^\circ+x)-sin(120^\circ-x)}$

$\underline{\textbf{Solution:}}$

$\underline{\textbf{Identity used:}}$

$\boxed{\mathsf{sin\,C-sin\,D=2\,cos\left(\dfrac{C+D}{2}\right)\,sin\left(\dfrac{C-D}{2}\right)}}$

$\mathsf{Consider,}$

$\mathsf{sinx+sin(120^\circ+x)-sin(120^\circ-x)}$

$\textsf{Using the above identity, we get}$

$\mathsf{=sinx+2\,cos\left(\dfrac{120^\circ+x+120^\circ-x}{2}\right)\,sin\left(\dfrac{120^\circ+x-120^\circ+x}{2}\right)}$

$\mathsf{=sinx+2\,cos\,120^\circ\;sinx}$

$\mathsf{=sinx+2\left(\dfrac{-1}{2}\right)sinx}$

$\mathsf{=sinx-sinx}$

$\mathsf{=0}$