Question

Solve and explain value of sec 72-sec36.

Answer 1

$\underline{\textbf{Given:}}$

$\mathsf{sec\,72^\circ-sec\,36^\circ}$

$\underline{\textbf{To find:}}$

$\textsf{The value of}$

$\mathsf{sec\,72^\circ-sec\,36^\circ}$

$\underline{\textbf{Solution:}}$

$\mathsf{Consider,}$

$\mathsf{sec\,72^\circ-sec\,36^\circ}$

$\textsf{This can be written as}$

$\mathsf{=\dfrac{1}{cos\,72^\circ}-\dfrac{1}{cos\,36^\circ}}$

$\mathsf{=\dfrac{cos\,36^\circ-cos\,72^\circ}{cos\,72^\circ\;cos\,36^\circ}}$

$\mathsf{Using,}\;\;\boxed{\mathsf{cos\,C-cos\,D=-2\,sin\left(\dfrac{C+D}{2}\right)\;sin\left(\dfrac{C-D}{2}\right)}}$

$\mathsf{=\dfrac{-2\,sin\left(\dfrac{36^\circ+72^\circ}{2}\right)\;sin\left(\dfrac{36^\circ-72^\circ}{2}\right)}{cos\,72^\circ\;cos\,36^\circ}}$

$\mathsf{=\dfrac{-2\,sin\,54^\circ\;sin(-18^\circ)}{cos\,72^\circ\;cos\,36^\circ}}$

$\mathsf{=\dfrac{2\,sin\,54^\circ\;sin\,18^\circ}{cos\,72^\circ\;cos\,36^\circ}}\;\;\mathsf{(\because\;sin(-\theta)=-sin\theta)}$

$\mathsf{Using,}\;\;\boxed{\mathsf{sin\,\theta=cos(90^\circ-\theta)}}$

$\mathsf{=\dfrac{2\,cos\,36^\circ\;sin\,72^\circ}{cos\,72^\circ\;cos\,36^\circ}}$

$\mathsf{=2}$

$\implies\boxed{\mathsf{sec\,72^\circ-sec\,36^\circ=2}}$