Question

solve: integral 0 to pi/4 root tanx + root cotx dx.

Answer 1

Please check the attachments.

Answer 2

Answer:

$\int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } \sqrt { \tan x } + \sqrt { \cot x } d x = \frac { 3 \pi } { \sqrt { 2 } }$

Given:

$\int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } \sqrt { \tan x } + \sqrt { \cot x } d x$

Solution:

$\begin{array} { l } { \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } \sqrt { \frac { \sin x } { \cos x } } + \sqrt { \frac { \cos x } { \sin x } } d x } \\ { \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } \frac { \sin x + \cos x } { \sqrt { \sin x \cos x } } d x } \end{array}$

Let

$( \sin x - \cos x ) ^ { 2 } = \sin x ^ { 2 } + \cos x ^ { 2 } - 2 \sin x \cos x$

$\begin{array} { c } { \sin x \cos x = \frac { \sin x ^ { 2 } + \cos x ^ { 2 } - ( \sin x - \cos x ) ^ { 2 } } { 2 } } \\ { \sin x \cos x = \frac { 1 - ( \sin x - \cos x ) ^ { 2 } } { 2 } } \\ { \sqrt { \sin x \cos x } = \sqrt { \frac { 1 - ( \sin x - \cos x ) ^ { 2 } } { 2 } } } \end{array}$

Substituting this in the equation, we get

$\int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } \frac { \sin x + \cos x } { \sqrt { \sin x \cos x } } d x = \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } \frac { \sin x + \cos x } { \sqrt { \frac { 1 - ( \sin x - \cos x ) ^ { 2 } } { 2 } } } d x$

Let

$\begin{array} { c } { \sin x - \cos x = v } \\ { \cos x + \sin x d x = d v } \end{array}$

At $x = 0 , \sin 0 - \cos 0 = v \Rightarrow 0 - 1 = v \Rightarrow v = - 1$

At $x = \frac { \pi } { 4 } , \sin \frac { \pi } { 4 } - \cos \frac { \pi } { 4 } = v \Rightarrow 0 - 0 = v \Rightarrow v = 0$

$\begin{array} { c } { = \sqrt { 2 } \int _ { - 1 } ^ { 0 } \frac { d v } { \sqrt { 1 - ( v ) ^ { 2 } } } } \\ { = \sqrt { 2 } \left[ \sin ^ { - 1 } v \right] _ { - 1 } ^ { 0 } } \\ { = \sqrt { 2 } \left[ \sin ^ { - 1 } 0 - \sin ^ { - 1 } - 1 \right] } \\ { \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } \sqrt { \tan x } + \sqrt { \cot x } d x = \sqrt { 2 } \left[ 0 - \frac { 3 \pi } { 2 } \right] = \frac { 3 \pi } { \sqrt { 2 } } } \end{array}$