Question

solve sinx +sin5x=sin3x

Answer 1

∴ $x$ have four different values;

$x=\frac{2\pi n}{3}$ , $\:x=\frac{\pi }{3}+\frac{2\pi n}{3}$ , $x=-\frac{\pi }{6}-\pi n$ and $x=-\frac{5\pi }{6}-\pi n$

Step-by-step explanation:

Given;

$sinx+sin5x=sin3x$

⇒$sinx+sin5x-sin3x=0$

⇒$2sin\frac{x+5x}{2} cos\frac{x-5x}{2} -sin3x=0$

⇒$2sin(3x)cos(-2x)-sin(3x)=0$

⇒$sin3x(2cos(-2x)-1)=0$

⇒$sin 3x=0$  or  $2cos(-2x)-1=0$

∴  $sin 3x=0$

⇒$3x=0+2\pi n$ , $\:3x=\pi +2\pi n$

∴$x=\frac{2\pi n}{3}$,$\:x=\frac{\pi }{3}+\frac{2\pi n}{3}$

And,

∴$2cos(-2x)-1=0$

⇒$cos(-2x)=\frac{1}{2}$

⇒$-2x=\frac{\pi }{3}+2\pi n$ , $-2x=\frac{5\pi }{3}+2\pi n$

∴$x=-\frac{\pi }{6}-\pi n$ , $x=-\frac{5\pi }{6}-\pi n$

So, $x$ have four different values;

$x=\frac{2\pi n}{3}$ , $\:x=\frac{\pi }{3}+\frac{2\pi n}{3}$ , $x=-\frac{\pi }{6}-\pi n$ and $x=-\frac{5\pi }{6}-\pi n$