Question

Solve:

$(x \sqrt{ {x}^{2} + {y}^{2} } - {y}^{2} )dx + xy dy = 0$
Question for moderators and stars.​

Answer 1

$\large{ \sf{(x \sqrt{x {}^{2} + y {}^{2} } - y {}^{2} )dx \: + xy \: \: dy = 0}} \\ \small{ \sf{xy \: dy \: = - (x \sqrt{x {}^{2} + y {}^{2} } - y {}^{2} ) }dx} \\ \small{ \sf{ \frac{dy}{dx} = \frac{ - x \sqrt{x {}^{2} + y {}^{2} } - {y}^{2} }{xy} }}$

Let y = zx, $\sf{z =\frac{y}{x} }$

$\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \small{ \sf{ \frac{dy}{dx} = z + x \frac{dz}{dx} }}\\ \small{ \sf{z - x \frac{dz}{dx} = - \frac{x \sqrt{x {}^{2} + {z}^{2} {x}^{2} } - x {}^{2} {z}^{2} }{x \times xz} }} \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \small { \sf{x \frac{dz}{dx} = \frac{ - z \cancel{ - x{}^{2}} ( \sqrt{1 - z {}^{2} } - z {}^{2}) }{ \cancel{x {}^{2}}z } }} \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \small{ \sf{ = \frac{ \cancel{- {z}^{2}} - \sqrt{1 + z {}^{2} } + \cancel{z {}^{2}} }{z}} } \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \small{\int \sf{ \frac{z}{ \sqrt{1 + z {}^{2} } }dz \: = - \int \frac{1}{2}dx }}$

Let 1 + z² = p²

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf{\cancel{2}z \: dz \: = \cancel{ - 2 }\: p \: d \: p }\\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf{z \: d z \: = - pdp} \\\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bf{ \int \: \frac{ \cancel{p}dp}{ \cancel{p}} } = - log \: |x| + c \\ \bf{p = - log \: |x| + c} \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf{ \sqrt{1 + z {}^{2} } + log \: |x| = c} \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bf{ \sqrt{1 + \frac{ {y}^{2} }{ {x}^{2} } } + log |x| = c } \\\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bf{ \sqrt{ \frac{x {}^{2} + {y}^{2} }{ {x}^{2} } } + log |x| = c } \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \large{\mathbf{ \sqrt{ {x}^{2} + {y}^{2} } + x \: log |x| = cx }} }$