Question

solve the given integral.

Answer 1

$\underline{\textsf{Solution :}}$

$\textsf{Now,}\:\mathsf{\int e^{ax} cosbx\:dx}$

$=\mathsf{\tiny{e^{ax} \int cosbx\:dx-\int \{ \frac{d}{dx}(e^{ax})\int cosbx\:dx \}dx}}$

$=\mathsf{\frac{e^{ax}sinbx}{b}-\int \frac{a\:e^{ax}sinbx\:dx}{b}+k_{1}}$

where $\mathsf{k_{1}}$ is integral constant

$=\mathsf{\frac{e^{ax}sinbx}{b}-\frac{a}{b}\int e^{ax}sinbx\:dx+k_{1}}$

$=\tiny{\mathsf{\frac{e^{ax}sinbx}{b}-\frac{a}{b}[e^{ax}\int sinbx\:dx-\int \{\frac{d}{dx}(e^{ax})\int sinbx\:dx\}dx]+k_{1}}}$

$=\tiny{\mathsf{\frac{e^{ax}sinbx}{b}-\frac{a}{b}[-\frac{e^{ax}cosbx}{b}+\int \frac{a\:e^{ax}cosbx\:dx}{b}]+k_{1}}}$

$=\tiny{\mathsf{\frac{e^{ax}sinbx}{b}+\frac{a}{b^{2}}e^{ax}cosbx-\frac{a^{2}}{b^{2}}\int e^{ax}cosbx\:dx+k_{1}}}$

$\to \tiny{\mathsf{(1+\frac{a^{2}}{b^{2}})\int e^{ax}cosbx\:dx=\frac{e^{ax}sinbx}{b}+\frac{a\:e^{ax}cosbx}{b^{2}}+k_{1}}}$

$\to \tiny{\mathsf{\frac{a^{2}+b^{2}}{b^{2}}\int e^{ax}cosbx\:dx=\frac{b\:e^{ax}sinbx+a\:e^{ax}cosbx}{b^{2}}+k_{1}}}$

$\to \tiny{\mathsf{\int e^{ax}cosbx\:dx=\frac{e^{ax}}{a^{2}+b^{2}}(b\:sinbx+a\:sinbx)+\frac{b^{2}k_{1}}{a^{2}+b^{2}}}}$

$\to \boxed{\tiny{\mathsf{\int e^{ax}cosbx\:dx = \frac{e^{ax}}{a^{2}+b^{2}}(a\:cosbx+b\:sinbx)+C}}}$

$\textsf{Here, cos2x cos4x}$

$=\mathsf{\frac{1}{2}\{cos(2x+4x)+cos(2x-4x)\}}$

$=\mathsf{\frac{1}{2}cos6x+\frac{1}{2}cos2x}$

Thus, $\mathsf{\int e^{-x}cos2x\:cos4x\:dx}$

$=\mathsf{\frac{1}{2} \int e^{-x}cos6x\:dx + \frac{1}{2} \int e^{-x}cos2x\:dx}$

$=\tiny{\mathsf{\frac{1}{2} \frac{e^{-x}}{(-1)^{2}+6^{2}}(-cos6x+6sin6x)+\frac{1}{2} \frac{e^{-x}}{(-1)^{2}+2^{2}}(-cos2x+2sin2x)+K}}$

$\textsf{where K is integral constant}$

$=\tiny{\mathsf{\frac{e^{-x}}{74}(-cos6x+6sin6x)+\frac{e^{-x}}{10}(-cos2x+2sin2x)+K}}$

$=\tiny{\mathsf{e^{-x}\{\frac{-cos6x+6sin6x}{74}+\frac{-cos2x+2sin2x}{10}\}+K}}$

$\textsf{This is the required integral.}$