Question

Solve the infinite radicals.

${x = \sqrt{1 + 2 \sqrt{1 + 3 \sqrt{1 + 4 \sqrt{... \infty} } } } }$
​

Answer 1

$\large\underline{\sf{Solution-}}$

$\rm :\longmapsto\:\sqrt{1 + 2 \sqrt{1 + 3 \sqrt{1 + 4 \sqrt{ - - - \infty} } } }$

Let start with

$\rm :\longmapsto\:3$

can be rewritten as

$\rm \:  =  \: \sqrt{ {3}^{2} }$

$\rm \:  =  \: \sqrt{9}$

$\rm \:  =  \: \sqrt{1 + 8}$

$\rm \:  =  \: \sqrt{1 + 2 \times 4}$

$\rm \:  =  \: \sqrt{1 + 2 \sqrt{16} }$

$\rm \:  =  \: \sqrt{1 + 2 \sqrt{1 + 15} }$

$\rm \:  =  \: \sqrt{1 + 2 \sqrt{1 + 3 \times 5} }$

$\rm \:  =  \: \sqrt{1 + 2 \sqrt{1 + 3 \sqrt{25} } }$

$\rm \:  =  \: \sqrt{1 + 2 \sqrt{1 + 3 \sqrt{1 + 24} } }$

$\rm \:  =  \: \sqrt{1 + 2 \sqrt{1 + 3 \sqrt{1 + 4 \times 6} } }$

$\rm \:  =  \: \sqrt{1 + 2 \sqrt{1 + 3 \sqrt{1 + 4 \sqrt{36} } } }$

$\rm \:  =  \: \sqrt{1 + 2 \sqrt{1 + 3 \sqrt{1 + 4 \sqrt{ - - - \infty } } } }$

and this process goes on.

Hence,

$\rm \: \boxed{ \tt{ \: \: \sqrt{1 + 2 \sqrt{1 + 3 \sqrt{1 + 4 \sqrt{ - - - \infty } } } } \: = 3 \: \: }}$