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Answer 1

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$\red{ \bold{\underline{Solution:-}}}$

$\begin{gathered}\underline{ \mathfrak{ \huge{\pink{\: \:To \: \: prove : \to }}}} \\ \\ \\ \huge{\bold{tan \: 4x= \frac{4 \: tan \: x(1 - tan {}^{2} x)}{1 - 6 \: tan {}^{2}x + tan {}^{4} x }}}\end{gathered}$

$\begin{gathered}\tt{L.H.S. = tan 4x} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{= tan \: 2(2x) }\\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{ = \frac{2 tan 2x }{1 - tan {}^{2} (2x)}} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{= \frac{ 2( \frac{2 \: tan \: x }{1 - tan {}^{2} x} )}{1 - ( \frac{2 \: tan \: x }{1 - tan {}^{2} x} ){}^{2} }}\end{gathered}$

$\begin{gathered}\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{ = \frac{ \frac{4 \: tan \: x}{1 - tan {}^{2}x }}{1 - \frac{4tan {}^{2} x}{(1 - tan {}^{2}x ) {}^{2} }} }\\ \\\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{= \frac{ \frac{4 \: tan \: x}{1 - tan {}^{2} x} }{ \frac{(1 - tan {}^{2}x) {}^{2} - 4 \: tan {}^{2} x}{(1 - tan {}^{2}x ) {}^{2} } }}\end{gathered}$

$\begin{gathered}\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{= \frac{4 \: tan \: x}{1 - tan {}^{2} x} \times \frac{(1 - tan {}^{2} x) {}^{2} }{(1 - tan {}^{2}x) {}^{2} - 4 \: tan {}^{2} x} } \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{= \frac{4 \: tan \: x(1 - tan {}^{2} x)}{(1 - tan {}^{2}x) {}^{2} - 4 \: tan {}^{2}x }}\end{gathered}$

$\begin{gathered}\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{= \frac{4 \: tan \: x(1 - tan {}^{2} x)}{(1 ){}^{2} -2 \: tan {}^{2} x + ( tan {}^{2}x) {}^{2} - 4 \: tan {}^{2}x } } \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{= \frac{4 \: tan \: x(1 - tan {}^{2} x)}{1 - 2 \: tan {}^{2} x + tan {}^{4} x- 4 \: tan {}^{2}x }}\end{gathered}$

$\begin{gathered}\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{ = \frac{4 \: tan \: x(1 - tan {}^{2} x)}{1 - 2 \: tan {}^{2} x - 4 \: tan {}^{2}x + tan {}^{4} x }} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{ = \frac{4 \: tan \: x(1 - tan {}^{2} x)}{1 - 6 \: tan {}^{2}x + tan {}^{4} x }} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{= R.H.S. }\end{gathered}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bold{ \underline{ \: \: Hence, \: proved. \: \: }}$

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Answer 2

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