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Answer 1

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Answer 2

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$\frac{ \tan {}^{3} }{1 + \tan^{2}} + \frac{ \cot {}^{3} }{1 + \cot {}^{2} } = \frac{( \frac{ \sin}{ \cos } ) {}^{3} }{1 + ( \frac{ \sin }{ \cos } ) {}^{2} } + \frac{ (\frac{ \cos }{ \sin} ) {}^{3} }{1 + ( \frac{ \cos }{ \sin } ) {}^{2} } = \frac{ \sin {}^{3} }{ \cos} + \frac{ \cos {}^{3} }{ \sin } \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \frac{ \sin {}^{4} + \cos {}^{4} }{ \sin \cos } \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \frac{( \sin {}^{2} + \cos {}^{2} ) {}^{2} - 2 \sin {}^{2} \cos {}^{2} }{ \sin\cos } \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \frac{1 - 2 \sin {}^{2} \cos {}^{2} }{ \sin\cos } \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \frac{1}{ \sin\cos} - \frac{2 \sin {}^{2} \cos {}^{2} }{ \sin\cos } \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \csc \sec - 2 \sin \cos$