Question

sqrt((1 - sin x)/(1 + sin x)) = sec(x) - tan x PROVE

Answer 1

To Find :-

Prove :

$\sf{\sqrt{\dfrac{1 - sin \: x}{1 + sin \: x}} = sec \: x - tan \: x}$

Solution:

Given to prove :

$\tt{\sqrt{\dfrac{1 - sin \: x}{1 + sin \: x}} = sec \: x - tan \: x}$

According the question,

L.H.S = $\implies \: \tt{\sqrt{\dfrac{1 - sin \: x}{1 + sin \: x}}}$

$\tt{ \implies \: \sqrt{\dfrac{1 - sin \: x}{1 + sin \: x}}} \: \: \times \: \: \tt{\dfrac{ \sqrt{1 - sin \: x}}{ \sqrt{1 - sin \: x}}} \: \: \: \: \: \: \sf{{}_{.. \: .. \: ..} \: ( \red{Dividing \: and \: multiplying \: by \sqrt{1 - sin \: x \: \: }})}$

$\tt{\implies \: {\dfrac{1 - sin \: x}{ \sqrt{1 - {sin}^{2} \: x}}}}$

$\tt{\implies \: {\dfrac{1 - sin \: x}{\sqrt{{cos}^{2} \: x}}}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf{{}_{.. \: .. \: ..} \: {( \red{{\: cos}^{2} \: x = 1 - {sin}^{2} \: x \: \: )}}}$

$\tt{\implies \: {\dfrac{1 - sin \: x}{cos \: x}}}$

$\tt{\implies \: {\dfrac{1}{cos\: x}} - \dfrac{sin \: x}{cos \: x}}$

$\tt{\implies \: sec \: x - tan \: x = R.H.S} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf{{}_{.. \: .. \: ..} \: \: \bigg \lgroup{\red{\dfrac{1}{cos \: x} = sec \: x \: \: and \: \: \: \dfrac{sin \: x}{cos \: x} = tan \: x}} \bigg \rgroup}$

Hence, Proved!

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Things to remember :-

• $\sf{\: {cos}^{2} \: x = 1 - {sin}^{2} \: x}$

• $\sf{\dfrac{1}{cos \: x} = sec \: x}$

• $\sf{\dfrac{sin \: x}{cos \: x} = tan \: x}$

Answer 2

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ$\sf \: \sqrt{\frac{1-sinx}{1+sinx}}=secx-tanx \\ \\ \sf \: \sqrt{\frac{1-sinx}{1+sinx}} \\ \\ =\sqrt{\frac{(1-sinx)(1-sinx)}{(1+sinx)(1-sinx)}} \\ \\ \sf \: { \red {By \: algebraic \: identity}} \\ \sf \: { \green{(a+b)(a-b)=a²-b²}} \\ \\ \sf \: =\frac{1-sinx}{cosx} \\ \\ \sf \: =\frac{1}{cosx}-\frac{sinx}{cosx} \\ \\ \sf \: =secx-tanx\\ \\ \sf \: Therefore \\ \sf \: \sqrt{\frac{1-sinx}{1+sinx}}=secx-tanx$

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$\sf{@WildCat7083 }$