त्रिभुज एबीसी में बीसी बराबर 20 सेंटीमीटर ए बराबर AE 14 सेंटीमीटर तथा एसी बराबर 28 सेंटीमीटर bd ज्ञात करें
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चित्र को ध्यान से देखें , यहाँ प्रश्नानुसार एक त्रिभुज ABC दिया है जिसकी भुजा AB , BC और CA के मध्य बिंदुएं क्रमशः D, E और F है ।
अब, हमे ज्ञात करना है ar(DEF)/ar(ABC)
चूँकि दिये गये त्रिभुज में, D, E तथा F त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिन्दु हैं , इसीलिए थेल्स प्रमेय के अनुसार,
DF || BC , DE || CA और EF || AB.
साथ ही, DE = 1/2 AC, EF = 1/2 AB और FD = 1/2 BC
अब त्रिभुज BDE तथा त्रिभुज BCA में,
∠BED=∠BCA (चूँकि संगत कोण हैं)
तथा, ∠BDE=∠BAC (चूँकि संगत कोण हैं)
तथा, ∠EBD=∠CBA (उभयनिष्ठ कोण हैं)
अत: AAA (कोण-कोण-कोण) कसौटी के आधार पर,
△ BED △ BCA
अत: ar(△ BED)/ar(△ BCA)=(DE/AC)²
⇒ar(△ BED)/ar(△ BCA)= {(1/2 AC)/AC}²
⇒ar(△ BED)/ar(△ BCA)= (1/2)² = 1/4
⇒ar(△ BED)=ar(△BCA)/4
उसी तरह,
⇒ar(△CFE)=1/4ar(△CBA)
तथा ⇒ar(△ADF)=1/4ar(△ABC)
अब, ar (△DEF) = ar (△ABC) – [ar (△BED) + ar (△CFE) + ar (△ADF)]
`=> ar(∆DEF) = ar(∆ABC)-3/4 ar(triangle ABC)
⇒ar(△DEF)=1/4ar(△ABC)
⇒ar(△ DEF)/ar(△ABC)=1/4
अत: △ DEF और △ ABC के क्षेत्रफलों का अनुपात 1:4 है|