tan^-1((√x-x))/1+x^3/2)
Answers
The Reqd. Deri.=
1
,
if
−
1
<
x
<
1
;
=
−
1
,
if
x
>
1
:
−
1
,
if
x
<
−
1
.
Explanation:
Let
u
=
tan
−
1
(
2
x
1
−
x
2
)
,
and
,
v
=
sin
−
1
(
2
x
1
+
x
2
)
.
Note that, because of the Dr. of
u
,
x
∈
R
−
{
±
1
}
...
.
(
∗
)
∴
x
<
−
1
,
or
,
−
1
<
x
<
1
,
or
,
x
>
1
.
Subst.
x
=
tan
θ
.
∵
(
∗
)
,
θ
∈
(
−
π
2
,
π
2
)
−
{
±
π
4
}
,
&
,
θ
=
tan
−
1
x
.
∴
u
=
tan
−
1
{
2
tan
θ
1
−
tan
2
θ
}
=
tan
−
1
(
tan
2
θ
)
,
and
,
v
=
sin
−
1
{
2
tan
θ
1
+
tan
2
θ
}
=
sin
−
1
(
sin
2
θ
)
.
Case (1) :
−
1
<
x
<
0
,
and
,
0
<
x
<
1
.
∴
tan
(
−
π
4
)
<
tan
θ
<
tan
0
,
&
,
tan
0
<
tan
θ
<
tan
(
π
4
)
.
Since,
tan
fun. is
↑
in all quadrants, it follows that,
−
π
4
<
θ
<
0
,
and
,
0
<
θ
<
π
4
.
∴
−
π
2
<
2
θ
<
0
,
&
,
0
<
2
θ
<
π
2
.
&,
∴
by the Defns of
tan
−
1
and
sin
−
1
functions, we have,
u
=
tan
−
1
(
tan
2
θ
)
=
2
θ
,
and
,
v
=
sin
−
1
(
sin
2
θ
)
=
2
θ
.
Thus,
u
=
2
tan
−
1
x
=
v
,
if
,
−
1
<
x
<
1
.
Therefore, the Reqd. Deri.=
d
u
d
v
=
d
u
d
x
d
v
d
x
,
=
2
1
+
x
2
2
1
+
x
2
=
1
,
if
−
1
<
x
<
1
.
Case (2) :
x
>
1
.
∴
tan
θ
>
tan
(
π
4
)
⇒
θ
>
π
4
...
[
∵
,
tan
is
↑
⏐
]
Preferably,
π
4
<
θ
<
π
2
⇒
π
2
<
2
θ
<
π
.
⇒
π
2
−
π
<
2
θ
−
π
<
π
−
π
,
i
.
e
.
,
−
π
2
<
2
θ
−
π
<
0
.
Then,
tan
(
2
θ
−
π
)
=
−
tan
(
π
−
2
θ
)
=
−
(
−
tan
2
θ
)
=
tan
2
θ
.
∴
u
=
tan
−
1
(
tan
2
θ
)
=
tan
−
1
(
tan
(
2
θ
−
π
)
)
,
where
(
2
θ
−
π
)
∈
(
−
π
2
,
0
)
⊂
(
−
π
2
,
π
2
)
.
∴
by the Defns. of
tan
−
1
and
sin
−
1
functions, we get,
u
=
2
θ
−
π
=
2
tan
−
1
x
−
π
;
Also,
sin
(
2
θ
−
π
)
=
−
sin
(
π
−
2
θ
)
=
−
sin
2
θ
∴
sin
2
θ
=
−
sin
(
2
θ
−
π
)
.
∴
v
=
sin
−
1
(
sin
2
θ
)
=
sin
−
1
(
−
sin
(
2
θ
−
π
)
)
=
−
sin
−
1
(
sin
(
2
θ
−
π
)
)
=
−
(
2
θ
−
π
)
=
π
−
2
tan
θ
=
π
−
2
tan
−
1
x
,
(
x
>
1
)
∴
The Reqd. Deri.=
2
1
+
x
2
−
0
0
−
2
1
+
x
2
=
−
1
,
if
x
>
1
.
Case (3) :
x
<
−
1
.
In this case,
x
<
−
1
⇒
θ
<
−
π
4
.
We take,
−
π
2
<
θ
<
−
π
4
∴
−
π
<
2
θ
<
−
π
2
.
∴
0
<
(
π
+
2
θ
)
<
π
2
⇒
(
π
+
2
θ
)
∈
(
0
,
π
2
)
⊂
(
−
π
2
,
π
2
)
.
Also,
tan
(
π
+
2
θ
)
=
tan
2
θ
,
&
,
sin
(
π
+
2
θ
)
=
−
sin
2
θ
.
∴
u
=
tan
−
1
(
tan
2
θ
)
=
tan
−
1
(
tan
(
π
+
2
θ
)
)
=
π
+
2
θ
=
π
+
2
tan
−
1
x
,
and,
v
=
sin
−
1
(
sin
2
θ
)
=
sin
−
1
(
−
sin
(
π
+
2
θ
)
)
=
−
sin
−
1
(
sin
(
π
+
2
θ
)
)
=
−
π
−
2
θ
=
−
π
−
2
tan
−
1
x
,
(
x
<
−
1
.
)
∴
d
u
d
v
=
−
1
,
x
<
−
1