Question

tan 181°tan 182°tan 183º...tan 267°tan 268°tan 269° = 1​

Answer 1

$\underline{\textbf{To prove:}}$

$\mathsf{tan181^\circ\;tan182^\circ\;tan183^\circ\;.\;.\;.\;tan267^\circ\;tan268^\circ\;tan269^\circ=1}$

$\underline{\textbf{Solution:}}$

$\underline{\textsf{Concept used:}}$

$\mathsf{*\;tan(180^\circ+\theta)=tan\,\theta}$

$\mathsf{*\;tan\,\theta=cot(90^\circ-\theta)}$

$\mathsf{Consider,}$

$\mathsf{tan181^\circ\;tan182^\circ\;tan183^\circ\;.\;.\;.\;.tan267^\circ\;tan268^\circ\;tan269^\circ}$

$\mathsf{=tan(180^\circ+1^\circ)\;tan(180^\circ+2^\circ)\;tan(180^\circ+13^\circ)\;\;.\;.\;.}\\\mathsf{tan(180^\circ+87^\circ)\;tan(180^\circ+88^\circ)\;tan(180^\circ+89^\circ)\;}$

$\mathsf{=tan1^\circ\;tan2^\circ\;tan3^\circ\;.\;.tan44^\circ\;}\mathsf{tan45^\circ\;tan46^\circ\;.\;.\;.\;tan87^\circ\;tan88^\circ\;tan89^\circ}$

$\mathsf{=tan1^\circ\;tan2^\circ\;tan3^\circ\;.\;.tan44^\circ\;}\mathsf{tan45^\circ\;cot44^\circ\;.\;.\;.\;cot3^\circ\;cot2^\circ\;cot1^\circ}$

$\mathsf{=tan1^\circ\;tan2^\circ\;tan3^\circ\;.\;.tan44^\circ\;}\mathsf{tan45^\circ\;\dfrac{1}{tan44^\circ}\;.\;.\;.\;\dfrac{1}{tan3^\circ}\;\dfrac{1}{tan2^\circ}\;\dfrac{1}{tan1^\circ}}$

$\mathsf{=tan45^\circ}$

$\mathsf{=1}$