Question

$1 + cos \: + sin \: \ \\ div 1 + cos \: - sin = 1 + sin \div cos$
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Answer 1

Proving L.H.S=R.H.S

Step-by-step explanation:

Given that:

$\frac{1+\cos +\sin}{1+\cos-\sin}=\frac{1+\sin}{cos}$

Solving L.H.S part:  

$\frac{1+\cos +\sin}{1+\cos-\sin}\ \times\ \frac{1+\cos +\sin}{1+\cos+\sin}$

$\frac{(1+\cos +\sin)^2}{(1+\cos-\sin)\times(1+\cos +\sin)}$

$\frac{(1+\cos^2 +\sin^2+2\cdot1\cdot\cos+2\cdot\cos\cdot\sin+2\cdot\sin\cdot1)}{(1+\cos)^2-(\sin)^2}$

$\frac{(1+1+2\cos+2\cos\sin+2\sin)}{(1+\cos^2+2\cdot1\cdot\cos)-(1-\cos^2)}$

$\frac{(2+2\cos+2\cos\sin+2\sin)}{(1+\cos^2+2\cos)-1+\cos^2}$

$\frac{2(1+\cos+\cos\sin+\sin)}{1+\cos^2+2\cos-1+\cos^2}$

$\frac{2(1+\cos+\sin(\cos+1))}{2\cos^2+2\cos}$

$\frac{2(1+\cos+\sin(1+\cos))}{2\cos(\cos+1)}$

$\frac{(1+\cos+\sin(1+\cos))}{\cos(\cos+1)}$

$\frac{(1+\cos)(1+\sin)}{\cos(1+\cos)}$

$\frac{(1+\sin)}{\cos}$

L.H.S=R.H.S i.e, $\frac{(1+\sin)}{\cos}\ = \frac{(1+\sin)}{\cos}$

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