Question

$\frac{1}{3x + y} + \frac{1}{3x - y} = \frac{3}{4} \: and \: \frac{1}{2(3x + y)} - \frac{1}{2(3x - y)} = \frac{1}{8}$
solve it by linear equation in two variables
(Simultaneous equation)​

Answer 1

Solution :-

we have,

$\bold{\frac{1}{3x + y} + \frac{1}{3x - y} = \frac{3}{4} \:}....(i)$

and

$\bold{\frac{1}{2(3x + y)} - \frac{1}{2(3x - y)} = \frac{1}{8}} \: ...(ii)$

_________________________

$\bold{let \: \boxed{ \bold{ \frac{1}{3x + y} = a }}} \\ \\ \bold{and \: \boxed{ \bold{ \frac{1}{3x - y} = b }}}$

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$\bold{ \implies \: a + b = \frac{3}{4} } \: ...(i)$

and

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{ \: \frac{a}{2} - \frac{b}{2} = \frac{1}{8} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \bold{\implies \: a - b = \frac{1}{4} } \: ...(ii)$

on adding (i) and (ii)

$\bold{ \implies \: a \cancel+ b + a \cancel- b = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} } \\ \\ \bold { \implies2a = \frac{3 + 1}{4} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \bold{ \implies \: 2a = \cancel\frac{4}{4} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \bold{ \implies2a = 1} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \bold{ \implies \boxed{ \bold{ \:a = \frac{1}{2} }}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

now, subtract (ii) from (i)

$\bold{ \implies a + b - (a - b) = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} } \\ \\ \bold{ \implies \: \cancel { \: \: a \: \: }+ b \cancel {- a }+ b = \frac{3 - 1}{4} } \: \: \: \\ \\ \bold{ \implies2b = \cancel\frac{2}{4} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \bold{ \implies 2b = \frac{1}{2} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \bold{ \implies \boxed{ \bold{b = \frac{1}{4} }}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

__________________________

now, we get value of a and b

$\bold{ \implies \frac{1}{3x + y} = \frac{1}{2} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \bold{ \implies3x + y = 2} \: ...(iii)$

and

$\bold{ \implies \frac{1}{3x - y} = \frac{1}{4} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: } \\ \\ \bold{ \implies3x - y = 4} \: ...(iv)$

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now, we have two equations

• 3x + y = 2 ...(iii)
• 3x - y = 4 ...(iv)

now, adding both eq.

$\bold{ \implies3x \cancel{+ y }+ 3x \cancel{ - y} = 2 + 4 } \\ \\ \bold{ \implies3x + 3x = 6 } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \bold{ \implies6x = 6} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \bold{ \implies \: x = \cancel \frac{6}{6} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \bold{ \implies \underline{x = 1}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

now, substitute the value of x in (iii)

$\bold{ \implies3(1) + y = 2 } \\ \\ \bold{ \implies 3 + y = 2} \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \bold{ \implies \: y = 2 - 3} \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \bold{ \implies \underline{y = - 1}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

hence, value of x is 1 and value of y is -1