Question

$\huge{\dag} \: {\underline{\boxed{\sf{\purple{ QUESTION }}}}}$

slope of a line passing through p(2,3) and intersecting the line x+y=7 at a distance of 4 units from p is ​

Answer 1

$\huge\green{ \underline{ \boxed{ \sf{Question-}}}}$

slope of a line passing through p(2,3) and intersecting the line x+y=7 at a distance of 4 units from p is

$\huge\green{ \underline{ \boxed{ \sf{answer-}}}}$

[ distance of line x + y = 7 from point P(2,3) = |2 + 3 - 7|/√(1² + 1²) = √2. so slope of unknown line passing through P(2,3) is (√7 - 1)/(1 + √7).

Answer 2

$\mathfrak{\bf{\underline{\underline{REFER \ ATTACHMENT \ FOR \ FIGURE :}}}}$

$\mathfrak{\bf{\underline{\underline{ANSWER \ :}}}}$

⟶ ㅤwє knσw pαrαmєtríc fσrm σf ѕtrαíght línє íѕ

$\impliesㅤㅤㅤㅤ \frac{x - x_{1}}{ \cos \theta } = \frac{y - y_{1}}{ \sin \theta } = r$

$\implies \: ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎\frac{x - 2}{ \cos \theta } = \frac{y - 3}{sin\theta} = 4$

$‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎point \: A = (4 + 2cos \theta \: , \: 4 + 3sin \theta)$

$‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎x = 4 + 2 \cos\theta \\ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ y = 4 + 3sin \theta$

⟶pσínt A líєѕ σn thє línє $\mathtt {⟶ \ x \ + \ y \ = \ 7 \ }$

$(4 + 2cos \theta) + (4 + 3sin \theta) = 7$

$cos \theta \: + sin \theta = \frac{1}{2}$

⟶ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ѕquαríng вσth ѕídєѕ

$\implies \: \: \: \: \: \: \: (cos \theta \: + \: sin \theta) ^{2} = { (\frac{1}{2} )}^{2}$

$\implies \: \: \: \: \: {cos }^{2} \theta \: + {sin}^{2} \theta \: + 2. \: sin \theta .\: cos \theta = \frac{1}{4}$

$\implies \: \: \: \: \: \: \: \: \: 1 + sin \ 2 \theta \: = \frac{1}{4}$

$\implies ‎ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: ‎ ‎sin2 \theta \: = - \frac { 3}{4}$

$\implies \: \: \: \: \: \: \: \frac{2tan \theta}{1 + {tan}^{2} \theta } = - \frac{3}{4}$

$\implies \: \: \: \: \: \: \: \: 3 {tan}^{2} \theta \: + 8tan \theta \: + 3 = 0$

$\bold {⟶ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:put \: tan \theta = m}$

$\implies \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: 3 {m}^{2} + 8m + 3 = 0$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: a = 3 \: \: b = 8 \: \: \: \: c = 3$

$\implies \: \: \: {b}^{2} - 4ac = {8}^{2} - 4(3)(3)$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \implies \: \: \: \: \: \: \: \: 64 - 36 \\ \implies \: \: \: \: \: \: \: 28$

$\implies \: \: \: \: \: \:m = \: \frac{ - b \binom{ + }{ - } \sqrt{ {b}^{2} - 4ac} }{2a}$

$\implies \: \: \: \: \: \: \: \: \:m = \: \: \frac{ - 8 \binom{ + }{ - } { \sqrt{28} } }{2 \times 3}$

$\implies \: \: \: \: \: \: \: \: \:m = \: \: \frac{ - 8 \binom{ + }{ - } 2 \sqrt{7} }{6}$

$\implies \: \: \: \: \: \: \: tan \theta \: = \frac{ - 8 \binom{ + }{ - } 2 \sqrt{7} }{6 }$

⟶ѕσ ѕlσpє = $tan \theta \: = \frac{ - 8 \binom{ + }{ - } 2 \sqrt{7} }{6 }$

$\therefore \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{slope \: = \frac{ - 8 \binom{ + }{ - } 2 \sqrt{7} }{6} }$