Question

$if \: \frac{ \sqrt{7} - 2 }{ \sqrt{7} \ + 2 } = a \sqrt{7} + b \: find \: a \: and \: b$
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Answer 1

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Answer 2

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$\bullet \: \frac{ \sqrt{7} - 2}{ \sqrt{7} + 2 } = a \sqrt{7} + b$

$\: \underline{\bf{ \color{whitesmole} \: answer}}$

$\: \dashrightarrow \bf{ \: lhs \to\frac{ \sqrt{7} - 2}{ \sqrt{7} + 2 } }$

$\: \: \bf{ \dashrightarrow \frac{ \sqrt{7} - 2 }{ \sqrt{7} + 2 } \times \frac{ \sqrt{7} - 2 }{ \sqrt{7} - 2 } }$

$\: \: \dashrightarrow \bf{ \frac{ \sqrt{7}( \sqrt{7} - 2) - 2( \sqrt{7} - 2) }{7 - 4} }$

$\: \bf{ \dashrightarrow \frac{7 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + 4 }{3} }$

$\: \: \bf{ \dashrightarrow \frac{11 - 4 \sqrt{7} }{3} }$

$\: \: \underline{\bf{ lhs = rhs}}$

$\: \: \bf{ \dashrightarrow \frac{11 - 4 \sqrt{7} }{3} = a \sqrt{7} + b}$

$\: \bf{ \dashrightarrow \: 11 - 4 \sqrt{7} = 3a \sqrt{7} + 3b}$

$\: \bigstar: \underline{\bf{ comparing \: both \: sides}}$

$\: \: \bf{ \dashrightarrow 3b = 11}$

$\: \: \bf{ \dashrightarrow \: b = \frac{11}{3} \: }$

$\: \: \bf{ \dashrightarrow \: and \: \: \: \: \: 3a \sqrt{7} = - 4 \sqrt{7} }$

$\: \: \: \bf{ \dashrightarrow \: 3a = - 4}$

$\: \: \bf{ \dashrightarrow \:a = \frac{ - 4}{3} }$