Question

$if \sf 4n\apha=\pi4n\apha=π4n\apha=π4n\apha=π$

then find the value of :-

$\begin{gathered}\begin{gathered} \\ \sf \cot\alpha. \cot 2\alpha. \cot3 \alpha... \cot((2n - 1) \alpha ) \\ \end{gathered} \end{gathered} \ \textless \ br /\ \textgreater \ cotα.cot2α.cot3α...cot((2n−1)α)$
​


cotα.cot2α.cot3α...cot((2n−1)α)
________
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Answer 1

I think correct question is :

$if \:\:\:\sf 4n\alpha=\pi$

then find the value of :-

$\sf \cot\alpha. \cot 2\alpha. \cot3 \alpha... \cot((2n - 1) \alpha )$

Solution :

Given,

$\bf 4n\alpha=\pi$

To Find:

Value of :

$\bf \cot\alpha. \cot 2\alpha. \cot3 \alpha... \cot((2n - 1) \alpha )$

Now,

$\bf 4n\alpha=\pi$

$\bf n=\frac{π}{4\alpha}$

★ In the expression there is given a general term.

$\bf \: cot(2n-1)\alpha \: \: \: \: \: \: \\ \bf \: \implies \: cot(\frac{\cancel2π}{\cancel4\alpha}-1)\alpha \\ \bf\implies \: cot(\frac{π}{2}-\alpha) \\ \implies \: \bf \: tan\alpha \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

and,

$\bf \: cot(2n-2)\alpha \\ \bf\implies \:cot(\frac{\cancel2π}{\cancel4\alpha}-2)\alpha \\ \bf\implies \:cot(\frac{π}{2}-2\alpha) \\\bf\implies \: tan2\alpha \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: </p><p>$

In a same way,

$\bf\implies \:cot(2n-3)\alpha \\\bf\implies \:tan3\alpha \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

and in this sequence it goes on. . .

So,

$\bf = \:cot\alpha.cot2\alpha.cot3\alpha. . . .cot(2n−3)\alpha.cot(2n−2)\alpha.cot(2n−1)\alpha \\ \\ \bf = \: \cot\alpha.cot2\alpha.cot3\alpha. . . . .tan3\alpha.tan2\alpha.tan\alpha \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\\bf = \: (cot\alpha.tan\alpha)(cot2\alpha.tan2\alpha)(cot3\alpha.tan3\alpha). . . . . \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \bf = \:1.1.1 . . . . \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \bf\: =1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Note :

$> \bf \: tan( \frac{\pi}{2} - x) = cot \: x \\ \\ > \bf \: cot( \frac{\pi}{2} - x) = tan \: x \\ \\ > \bf \: cot \: x.tan \: x = 1$