Question

$<i><b>Good afternoon friends$

$<i><b>Answer the above question$

$<i><b>No Spam$

Answer 1

$\underline{\textsf{Given : }}$




$\mathsf{\implies x \: = \: \left( \: - \dfrac{a}{2} \: + \: \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} \: } \right)^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}}} \: + \: \left( \: - \dfrac{a}{2} \: - \: \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} \: } \right)^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}}}}$




$\underline{\mathsf{To \: Find \longrightarrow x^{3} \: + \: bx \: + \: a }}$




$\textsf{Put the value of x : }$



$\mathsf{= \: x^{3} \: + \: bx \: + \: a }$




$\mathsf{ = \: \left \{\left( \: - \dfrac{a}{2} \: + \: \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} \: } \right)^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}}} \: + \: \left( \: - \dfrac{a}{2} \: - \: \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} \: } \right)^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}}} \right \} ^{ \normalsize{3} } \: + } \\ \mathsf{b \left \{\left( \: - \dfrac{a}{2} \: + \: \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} \: } \right)^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}}} \: + \: \left( \: - \dfrac{a}{2} \: - \: \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} \: } \right)^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}}} \right \} \: + \: a}$




$\mathsf{ = \: \left \{\left( \: - \dfrac{a}{2} \: + \: \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} \: } \right)^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}}} \right \}^{ \normalsize{3}} \: + \left \{ \: \left( \: - \dfrac{a}{2} \: - \: \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} \: } \right)^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}}} \right \} ^{ \normalsize{3} } \: + }$
$\mathsf{ + \: \: 3\left \{\left( \: - \dfrac{a}{2} \: + \: \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} \: } \right)^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}}} \right \} \left \{ \: \left( \: - \dfrac{a}{2} \: - \: \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} \: } \right)^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}}} \right \} } \\ \mathsf{\left \{ \: \: \left( \: - \dfrac{a}{2} \: + \: \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} \: } \right)^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}}} \: + \: \: \left( \: - \dfrac{a}{2} \: - \: \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} \: } \right)^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}}} \right \} \: + }$
$\mathsf{b \left \{\left( \: - \dfrac{a}{2} \: + \: \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} \: } \right)^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}}} \: + \: \left( \: - \dfrac{a}{2} \: - \: \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} \: } \right)^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}}} \right \} \: + \: a}$



$\mathsf{ = \: \: - \dfrac{a}{2} \: + \: \cancel{ \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} }\: } \: \: - \: \dfrac{a}{2} \: - \: \cancel{\sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} \: }} \: + }$
$\mathsf{ + \: \: 3\left \{\left( \: - \dfrac{a}{2} \: + \: \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} \: } \right) \left( \: - \dfrac{a}{2} \: - \: \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} \: } \right)\right \} ^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}} } } \\ \mathsf{\left \{ \: \: \left( \: - \dfrac{a}{2} \: + \: \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} \: } \right)^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}}} \: + \: \: \left( \: - \dfrac{a}{2} \: - \: \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} \: } \right)^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}}} \right \} \: + }$
$\mathsf{b \left \{\left( \: - \dfrac{a}{2} \: + \: \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} \: } \right)^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}}} \: + \: \left( \: - \dfrac{a}{2} \: - \: \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} \: } \right)^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}}} \right \} \: + \: a}$

Answer 2

$\mathsf{ = \: \dfrac{ - 2a}{ \: 2} } \: \mathsf{ + \: \: 3\left \{\: \dfrac{a {}^{2} }{4} \: - \: \left(\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} \: \right) \right \}^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}} } } \\ \mathsf{\left \{ \: \: \left( \: - \dfrac{a}{2} \: + \: \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} \: } \right)^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}}} \: + \: \: \left( \: - \dfrac{a}{2} \: - \: \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} \: } \right)^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}}} \right \} \: + }$ $\mathsf{b \left \{\left( \: - \dfrac{a}{2} \: + \: \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} \: } \right)^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}}} \: + \: \left( \: - \dfrac{a}{2} \: - \: \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} \: } \right)^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}}} \right \} \: + \: a}$

$\mathsf{ = \: - \: a} \: \mathsf{ + \: \: 3\left \{\: \cancel{\dfrac{ a {}^{2} }{4}} \: - \: \cancel{\dfrac{a^{2}}{4}} \: - \: \dfrac{b^{3}}{27} \: \right \}^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}} } } \\ \mathsf{\left \{ \: \: \left( \: - \dfrac{a}{2} \: + \: \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} \: } \right)^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}}} \: + \: \: \left( \: - \dfrac{a}{2} \: - \: \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} \: } \right)^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}}} \right \} \: + }$ $\mathsf{b \left \{\left( \: - \dfrac{a}{2} \: + \: \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} \: } \right)^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}}} \: + \: \left( \: - \dfrac{a}{2} \: - \: \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} \: } \right)^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}}} \right \} \: + \: a}$

$\mathsf{ = \: - \: a} \: \mathsf{ + \: \: 3\left \{ - \: \dfrac{b^{3}}{27} \: \right \}^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}} } } \mathsf{\left \{ \: \: \left( \: - \dfrac{a}{2} \: + \: \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} \: } \right)^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}}} \: + \: \: \left( \: - \dfrac{a}{2} \: - \: \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} \: } \right)^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}}} \right \} \: + } \mathsf{b \left \{\left( \: - \dfrac{a}{2} \: + \: \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} \: } \right)^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}}} \: + \: \left( \: - \dfrac{a}{2} \: - \: \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} \: } \right)^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}}} \right \} \: + \: a}$

$\mathsf{ = \: - \: a} \: \mathsf{ + \: \: 3\left \{ \left( - \: \dfrac{b}{3} \right)^{ \normalsize{3}} \: \right \}^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}} } } \mathsf{\left \{ \: \: \left( \: - \dfrac{a}{2} \: + \: \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} \: } \right)^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}}} \: + \: \: \left( \: - \dfrac{a}{2} \: - \: \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} \: } \right)^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}}} \right \} \: + } \mathsf{b \left \{\left( \: - \dfrac{a}{2} \: + \: \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} \: } \right)^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}}} \: + \: \left( \: - \dfrac{a}{2} \: - \: \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} \: } \right)^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}}} \right \} \: + \: a}$

$\mathsf{ = \: - \: a} \: \mathsf{ + \: \: \cancel{ 3} \left( - \dfrac{b}{ \cancel{3}} \right) } \mathsf{\left \{ \: \: \left( \: - \dfrac{a}{2} \: + \: \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} \: } \right)^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}}} \: + \: \: \left( \: - \dfrac{a}{2} \: - \: \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} \: } \right)^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}}} \right \} \: + } \mathsf{b \left \{\left( \: - \dfrac{a}{2} \: + \: \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} \: } \right)^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}}} \: + \: \left( \: - \dfrac{a}{2} \: - \: \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} \: } \right)^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}}} \right \} \: + \: a}$

$\mathsf{ = \: \cancel{ - \: a} \: } \: \mathsf{ - \: \cancel{b\left \{ \: \: \left( \: - \dfrac{a}{2} \: + \: \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} \: } \right)^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}}} \: + \: \: \left( \: - \dfrac{a}{2} \: - \: \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} \: } \right)^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}}} \right \}} \: + } \mathsf{ \cancel{b \left \{\left( \: - \dfrac{a}{2} \: + \: \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} \: } \right)^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}}} \: + \: \left( \: - \dfrac{a}{2} \: - \: \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} \: + \: \dfrac{b^{3}}{27} \: } \right)^{ \frac{ \normalsize{1}}{ \normalsize{3}}} \right \}} \: + \: \cancel{a}} \\ \\ \mathsf{ = \: 0}$

Continuation of Advaibhav