Question

$\rm \red {Prove \: that}\\ \rm \red{1 + 2 + 3 + 4 \dots = - \dfrac{1 }{12}}$​

Answer 1

$\rm \red{S_1=1-1+1-1+1-1+1-1 \dots Even}$

$\rm \red{S_1=0....(1)}$

$\rm \red{S_1=1-1+1-1+1-1 + 1\dots Odd}$

$\rm \red{S_1 = 1 \dots(2)}$

$\rm \red{Adding \: (1) \: and \: (2)}$

$\rm \red{2 \: S_1 = 0 + 1}$

$\rm \red{ S_1 = \dfrac{1}{2} \dots(3)}$

$\rm \red{S_2 = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 \dots}$

$\rm \red{S_2 = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 \dots}$

$\rm \red{2 \: S_2 =1-1+1-1+1-1 \dots}$

$\rm \red{2 \: S_2 = \dfrac{1}{2} }$

$\rm \red{S_2 = \dfrac{1}{4} \dots(4) }$

$\rm \red{S_3 =1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 \dots }$

$\rm \red{S_2 =1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 \dots }$

$\rm \red{S_3 - S_2 =4 + 8 + 12 + 16 + 20 \dots}$

$\rm \red{S_3 - S_2 =4 +( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6\dots)}$

$\rm \red{S_3 - S_2 =4 \: S_3}$

$\rm \red{ \dfrac{ - 1}{4} = 3 \: S_3}$

$\rm \red{ S_3 = \dfrac{ - 1}{12} }$

$\rm \red{1 + 2 + 3 + 4 \dots = - \dfrac{1 }{12}}$