Question

$solve\:for\:A,\:\sin ^2\left(A\right)\cos ^2\left(B\right)-\cos ^2\left(A\right)\sin ^2\left(B\right)=\sin ^2\left(A\right)\cos ^2\left(B\right)-\sin ^2\left(B\right)$

Answer 1

Answer:

$\mathrm{No\:Solution\:for}\:A\in \mathbb{R}$

Step-by-step explanation:

$\sin ^2\left(A\right)\cos ^2\left(B\right)-\cos ^2\left(A\right)\sin ^2\left(B\right)=\sin ^2\left(A\right)\cos ^2\left(B\right)-\sin ^2\left(B\right)$

$\mathrm{Subtract\:}\sin ^2\left(A\right)\cos ^2\left(B\right)-\sin ^2\left(B\right)\mathrm{\:from\:both\:sides}$

$\sin ^2\left(B\right)-\cos ^2\left(A\right)\sin ^2\left(B\right)=0$

$\mathrm{Factor}\:\sin ^2\left(B\right)-\cos ^2\left(A\right)\sin ^2\left(B\right)$

$\sin ^2\left(B\right)-\cos ^2\left(A\right)\sin ^2\left(B\right)$

$\mathrm{Factor\:out\:common\:term\:}-\sin ^2\left(B\right)$

$=-\sin ^2\left(B\right)\left(-1+\cos ^2\left(A\right)\right)$

$\mathrm{Factor}\:\cos ^2\left(A\right)-1$

$\cos ^2\left(A\right)-1$

$\mathrm{Rewrite\:}1\mathrm{\:as\:}1^2$

$=\cos ^2\left(A\right)-1^2$

$\mathrm{Apply\:Difference\:of\:Two\:Squares\:Formula:\:}x^2-y^2=\left(x+y\right)\left(x-y\right)$

$\cos ^2\left(A\right)-1^2=\left(\cos \left(A\right)+1\right)\left(\cos \left(A\right)-1\right)$

$=\left(\cos \left(A\right)+1\right)\left(\cos \left(A\right)-1\right)$

$=-\sin ^2\left(B\right)\left(\cos \left(A\right)+1\right)\left(\cos \left(A\right)-1\right)$

$\mathrm{Solving\:each\:part\:separately}$

$\cos \left(A\right)+1=0\quad \mathrm{or}\quad \cos \left(A\right)-1=0$

$\cos \left(A\right)+1=0$

$\cos \left(A\right)+1=0$

$\mathrm{Subtract\:}1\mathrm{\:from\:both\:sides}$

$\cos \left(A\right)+1-1=0-1$

$\mathrm{Simplify}$

$\cos \left(A\right)=-1$

$\mathrm{General\:solutions\:for}\:\cos \left(A\right)=-1$

$A=\pi +2\pi n$

$\cos \left(A\right)-1=0$

$A=0+2\pi n$

$0+2\pi n=2\pi n$

$A=2\pi n$

$\mathrm{Combine\:all\:the\:solutions}$

$A=\pi +2\pi n,\:A=2\pi n$

$\mathrm{Since\:the\:equation\:is\:unspecified\:for:}\quad \pi +2\pi n,\:2\pi n$

$\mathrm{No\:Solution\:for}\:A\in \mathbb{R}$