Question

$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$

solve it

Answer 1

$\mathrm{Convergence\:Interval\:of\:}\sum _{n=0}^{\infty \:}\frac{x^n}{n!}:\quad -\infty \:<x<\infty \:$

$Steps$

$\sum _{n=0}^{\infty \:}\frac{x^n}{n!}$

$\mathrm{Use\:the\:Ratio\:Test\:to\:compute\:the\:convergence\:interval}:\quad -\infty \:<x<\infty \:$

$\mathrm{If\:there\:exists\:an\:}N\mathrm{\:so\:that\:for\:all\:}n\ge N,\:\quad a_n\ne 0\mathrm{\:and\:}\lim _{n\to \infty }|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=L:$

• $\mathrm{If\:}L<1\mathrm{,\:then\:}\sum a_n\mathrm{\:converges}$

• $\mathrm{If\:}L>1\mathrm{,\:then\:}\sum a_n\mathrm{\:diverges}$

• $\mathrm{If\:}L=1\mathrm{,\:then\:the\:test\:is\:inconclusive}$

$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{\frac{x^{\left(n+1\right)}}{\left(n+1\right)!}}{\frac{x^n}{n!}}\right|$

$\mathrm{Compute\:}\lim _{n\to \infty \:}\left(\left|\frac{\frac{x^{\left(n+1\right)}}{\left(n+1\right)!}}{\frac{x^n}{n!}}\right|\right):\quad 0$

$L<1\mathrm{\:for\:every\:}x\mathrm{,\:therefore\:}\sum _{n=0}^{\infty \:}\frac{x^n}{n!}\mathrm{\:converges\:for\:all\:}x$

$-\infty \:<x<\infty \:$

Answer 2

$\sum _{n=0}^{\infty \:}\frac{x^n}{n!}$

$\mathrm{If\:there\:exists\:an\:}N\mathrm{\:so\:that\:for\:all\:}n\ge N,\:\quad a_n\ne 0\mathrm{\:and\:}\lim _{n\to \infty }|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=L:$

$\mathrm{If\:}L<1\mathrm{,\:then\:}\sum a_n\mathrm{\:converges}$

$\mathrm{If\:}L>1\mathrm{,\:then\:}\sum a_n\mathrm{\:diverges}$

$\mathrm{If\:}L=1\mathrm{,\:then\:the\:test\:is\:inconclusive}$

$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{\frac{x^{\left(n+1\right)}}{\left(n+1\right)!}}{\frac{x^n}{n!}}\right|$

$L<1\mathrm{\:for\:every\:}x\mathrm{,\:therefore\:}\sum _{n=0}^{\infty \:}\frac{x^n}{n!}\mathrm{\:converges\:for\:all\:}x$