Question

$\: \: \: \: \: \bigstar \: \: \: \sf{ \large{If \: \: p {}^{\dfrac{1}{x}} = q{}^{\dfrac{1}{y}} = r {}^{\dfrac{1}{z}} \: \: and \: \: pqr = 1, \: prove \: }} \\ \sf{ \large{that \: \: x + y + z = 0}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$​

Answer 1

let

p^1/x ×q ^1/y ×r^1/z =k

=> pqr =( K)^x+y+z

=> 1 =( K)^x+y+z

=>k^0 = ( K)^x+y+z

=>x+y+z =0

Answer 2

To Prove :-

• $\: \: \: \sf{x + y + z = 0}$

Proof :-

Given

• $\: \: \: \sf{p {}^{\frac{1}{x}} = q{}^{\frac{1}{y}} = r {}^{\frac{1}{z}}}$

• $\: \: \: \sf{pqr = 1}$

$\sf \green {Let:-}$

$\: \: \sf{ p{}^{\frac{1}{x}} = q{}^{\frac{1}{y}} = r {}^{\frac{1}{z}} = k}$

$\sf \green {Then:-}$

$\sf{ \therefore \: \: p{}^{\frac{1}{x}} =k} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf{\implies \: p = k {}^{x} \: \: \: \: - - - > (i)}$

$\sf{\therefore \: \: q{}^{\frac{1}{y}} =k} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf{\implies \: q = k {}^{y} \: \: \: \: - - - > (ii)}$

$\sf{\therefore \: \: r{}^{\frac{1}{z}} =k} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf{\implies \: r = k {}^{z} \: \: \:\: - - - > (iii)}$

Multiplying eq( i,ii&iii) we get :-

$\: \: \: \sf\red{{p \times q \times r = k {}^{x} \times k {}^{y} \times k {}^{z}}} \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf{ :\implies \: pqr = k {}^{(x + y + z)} \: \: } \\ \\\: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf{ :\implies \: 1 = k {}^{(x + y + z)} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf\pink{[Given]}}\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf{ :\implies \: k {}^{0 } =k {}^{(x + y + z)} \: \: \:} \: \\ \\ \sf{ :\implies \: \: 0 = x + y + z \: \: } \\ \\ \sf\red{{ \therefore \: \: \underline{ \: x + y + z = 0 \: }}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

• Hence,(proved)

⠀⠀⠀ ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━⠀