Question

$(x + 1)^6 + (x - 1)^6$ का मान ज्ञात कीजिए। इसका प्रयोग करके या अन्यथा $(\sqrt2 + 1)^6 + (\sqrt2 - 1)^6$ का मान ज्ञात कीजिए।

Answer 1

महत्वपूर्ण तथ्य ☞

ऐसा वीजीय व्यंजक जिसमें दो पद होते हैं .

द्विपद ( Binomial ) कहलाता है ।

उदाहरण : a + b, 2x - 3y तथा 2/x - 1/x²

ऐसा बीजीय व्यंजक जिसमें तीन पद होते हैं , त्रिपद ( Trinomial ) कहलाता है ।

व्यापक रूप से ऐसा व्यंजक जिसमें दो से अधिक पद होते बहुपदी व्यंजक ( Multinomial Expression ) कहलाता है । द्विपद का व्यापक रूप ( x + 1 ) हैं ।

प्रत्येक धन पूर्णाक n के लिए ( x + a )^n का प्रसार द्विपद प्रमेय कहलाता है ।

$\bf \: Solution-$

हल:-

द्विपद प्रमेय से विस्तार करने पर मान

$(x + 1) {}^{6} + {(x - 1)}^{6} \\ \\ = 2( {x}^{6} + {}^{6} c_2 \times {x}^{4} \times {1}^{2} + ^6c_4 \times {x}^{2} \times {1}^{4} + {1}^{6} ) \\ \\ \\ = 2( {x}^{6} + {15x}^{4} + {15x}^{2} + 1)$

उक्त के दोनों पक्षों में x = √2 रखने पर,

$( \sqrt{2} + 1) {}^{6} + ( \sqrt{2} - 1) {}^{6} \\ \\ = 2 \{( \sqrt{2} ) {}^{6} + 15 \times {( \sqrt{2)} \: }^{4} +1 5 \times {( \sqrt{2} )}^{2} + 1 \} \\ \\ \\ = 2( {2}^{3} + 15 \times {2}^{2} + 15 \times 2 + 1) \\ \\ \\ = 2(8 + 15 \times 4 + 30 + 1) \\ \\ \\ = 2(39 + 60) \\ \\ \\ = 2 \times 99 = 198$