देर का रगरत समीकरण की प्रमुख विशेषताएं लिखिए
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रैखिक समीकरण निकाय
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गणित में (और विशेषतः रैखिक बीजगणित में) समान अज्ञात राशि वाले रैखिक समीकरणों के समुच्चय को रैखिक समीकरणों का निकाय (systems of linear equations) कहा जाता है।
तीन चरों वाला कोई रैखिक समीकरण निकाय वस्तुतः तीन समतलों (plane) का समुच्चय है। इन समतलों का कटान बिन्दु ही इस रैखिक निकाय का 'हल' कहलाता है।
उदाहरण के लिए,
{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}3x&&\;+\;&&2y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&1&\\2x&&\;-\;&&2y&&\;+\;&&4z&&\;=\;&&-2&\\-x&&\;+\;&&{\tfrac {1}{2}}y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0&\end{alignedat}}} {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}3x&&\;+\;&&2y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&1&\\2x&&\;-\;&&2y&&\;+\;&&4z&&\;=\;&&-2&\\-x&&\;+\;&&{\tfrac {1}{2}}y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0&\end{alignedat}}}
तीन चर राशियों x, y, z में तीन समीकरणों का एक निकाय है। किसी रैखिक निकाय के चरों के स्थान पर जो संख्यात्मक मान रखने पर वे सभी समीकरण एक साथ संतुष्ट होते हैं, संख्याओं के उस समुच्चय को ही उस 'समीकरण निकाय का हल' कहा जाता है। ऊपर दिए गये समीकरणों के निकाय का हल यह है:
{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x&=&1\\y&=&-2\\z&=&-2\end{alignedat}}} {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x&=&1\\y&=&-2\\z&=&-2\end{alignedat}}}
क्योंकि x, y, तथा z के ये मान उपरोक्त तीनों समीकरणों को संतुष्ट करते हैं।[1] "निकाय" (system) इस बात का संकेत करता है कि सभी समीकरणों को एक साथ विचार करना है, अलग-अलग नहीं।
रैखिक समीकरणों के निकाय का हल निकालना गणित की सबसे पुराने कर्मों में से एक है। बहुत से क्षेत्रों की समस्याओं को हल करते समय रैखिक समीकरण निकाय से सामना होता है। जैसे आंकिक संकेत प्रसंस्करण, रैखिक इष्टतमकरण। अरैखिक गणितीय समस्याओं के रेखीकरण से भी रैखिक समीकरण निकाय प्राप्त होता है। इनको हल करने के लिए गाउस की विलोपन विधि, चोलेस्की अपघटन (Cholesky decomposition) या LU अपघटन द्वारा दक्षतापूर्वक हल किया जा सकता है। सरल स्थितियों में क्रैमर का नियम काम में लाया जा सकता है।
सामान्य रूप संपादित करें
सामान्यीकरण की दृष्टि से, n अज्ञात राशियों में m रैखिक समीकरणों का निकाय निम्नलिखित ढंग से लिखा जा सकता है:
{\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}&+\dots &+a_{1n}x_{n}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}&+a_{22}x_{2}&+\dots &+a_{2n}x_{n}&=b_{2}\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\a_{m1}x_{1}&+a_{m2}x_{2}&+\dots &+a_{mn}x_{n}&=b_{m}\end{matrix}}}
वेक्टर स्वरूप संपादित करें
उपरोक्त समीकरण निकाय को निम्नलिखित प्रकार से भी लिखा जा सकता है:
{\displaystyle x_{1}{\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots \\a_{m1}\end{bmatrix}}+x_{2}{\begin{bmatrix}a_{12}\\a_{22}\\\vdots \\a_{m2}\end{bmatrix}}+\cdots +x_{n}{\begin{bmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\\vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}}
मैट्रिक्स स्वरूप संपादित करें
वेक्टर रूप में निरूपित उपरोक्त समीकरण को मैट्रिक्स गुणन का प्रयोग करते हुए निम्नलिखित अत्यन्त संक्षिप्त रूप में भी लिखा जा सकता है।
{\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }
जहाँ
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}}
रैखिक समीकरण निकाय को हल करने एवं अन्य कार्यों के लिए उपरोक्त समीकरणों में आये हुए गुणाकों {\displaystyle a_{ij}} को एक आव्यूह (मैट्रिक्स) {\displaystyle A,} के रूप में रखना बहुत सुविधाजनक रहता है। इस मैट्रिक्स को गुणांकाव्यूह (cofficient matrix) कहते हैं। इसी प्रकार अज्ञात राशियों को एक वेक्टर मैट्रिक्स (x) के रूप में लिया जाता है तथा समीकरण में आये सभी चर-विहीन पदों को भी वेक्टर मैट्रिक्स b के रूप में लिया जाता है।
लेकिन समीकरणों का हल आदि निकालते समय सभी समीकरणों को अज्ञात राशियों सहित लिखने की आवश्यकता नहीं होती। वास्तव में सारी गणितीय संक्रियाएँ A और b पर ही की जातीं है। अतः इन दोनों को एकसाथ मिलाकर प्रवर्धित गुणांक आव्यूह (augmented cofficient matrix) लिखना और उसके साथ काम करना अधिक उपयुक्त रहता है। प्रवर्धित गुणाण्क आव्यूह नीचे लिखा है:
{\displaystyle \left({\begin{array}{c|c}A&b\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cccc|c}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}&b_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}&b_{m}\end{array}}\right)}
क्रैमर का नियम संपादित करें
सन्दर्भ संपादित करें
इन्हें भी देखें संपादित करें
अंतिम बार 10 मार्च 2021 को 08:05 बजे संपादित किया गया
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