Question

दो संख्याओं का योगफल उनके गुणोत्तर माध्य का 6 गुना है तो दिखाइए कि संख्याएँ $(3 + 2\sqrt2) : (3 - 2\sqrt2)$ के अनुपात में हैं।

Answer 1

Answer:

Step-by-step explanation:

माना कि दो संख्याएँ   a  तथा  b  है अतः प्रश्नानुसार  दोनों संख्याओं का योग  =  6 * इनका गुणोत्तर माध्य  

$a+b=6\sqrt{ab} \\\\a+b+2\sqrt{ab} =8\sqrt{ab}\\ \\(\sqrt{a} +\sqrt{b} )^2=8\sqrt{ab}....(i) \\\\(\sqrt{a} +\sqrt{b} )^2-4\sqrt{ab} =4\sqrt{ab}\\ \\a+b-2\sqrt{ab} =4\sqrt{ab}\\ \\(\sqrt{a}-\sqrt{b} )^2=4\sqrt{ab} .......(ii)$

समीकरण  (i)  में  (ii)  का भाग देने पर  

$\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b} )^2 }{(\sqrt{a}-\sqrt{b} )^2} =\frac{8\sqrt{ab} }{4\sqrt{ab} }=2\\ \\\frac{\sqrt{a} +\sqrt{b} }{\sqrt{a} -\sqrt{b} } =\frac{\sqrt{2} }{1}$

योगान्तरानुपात प्रमेय से  

$\frac{(\sqrt{a} +\sqrt{b} )+(\sqrt{a} -\sqrt{b} )}{(\sqrt{a} +\sqrt{b} )-(\sqrt{a} -\sqrt{b} )} =\frac{\sqrt{2}+1 }{\sqrt{2} -1} \\\\\frac{2\sqrt{a} }{2\sqrt{b} }=\frac{\sqrt{a} }{\sqrt{b} }=\frac{\sqrt{2} +1}{\sqrt{2} -1} \\  \\\frac{a}{b} =\frac{(\sqrt{2}+1)^2 }{(\sqrt{2} -1)^2} =\frac{3+2\sqrt{2} }{3-2\sqrt{2} }\\ \\\frac{a}{b} =\frac{3+2\sqrt{2} }{3-2\sqrt{2} }$

अतः  संख्याओं  a और b में अनुपात  = $(3+2\sqrt{2} ):(3-2\sqrt{2} )$

Answer 2

दिखाया की संख्याएँ (3 + 2√2)  : (3 - 2√2) के  अनुपात में हैं यदि दो संख्याओं का योगफल उनके गुणोत्तर माध्य का 6 गुना है

Step-by-step explanation:

माना दो संख्या  a तथा b  

a तथा b के बीच गुणोत्तर माध्य  

= √ab

a + b  = 6√ab

दोनों तरफ वर्ग लेने पर

=> (a + b)²  = (6√ab)²

=> (a + b)² = 36ab

=> a² + b² + 2ab = 36ab

=> a² +  b² = 34ab

=> a² +  b² -2ab = 32ab

=> (a - b)² = 32ab

=> (a + b)²/(a - b)² = 36ab/32ab

=> (a + b)²/(a - b)² = 9/8

=>(a + b)/(a - b)  = 3/2√2

=> 2√2a  + 2√2b  = 3a  - 3b

=> b(2√2 + 3)  = a(3 - 2√2)

=> (2√2 + 3)  / (3 - 2√2) = a/b

=> a/b = (3 + 2√2)  / (3 - 2√2)

संख्याओं का अनुपात = (3 + 2√2)  / (3 - 2√2)

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