Question

दर्शाइए कि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड परस्पर समद्विभाजित करते हैं।

Answer 1

Answer:

Step-by-step explanation:

माना ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें P, Q , R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं। अर्थात AP = BP , BQ = CQ , CR = DR तथा AS = DS

 

सिद्ध करना है :  

PR तथा SQ एक दूसरे को समद्विभाजित करते  अर्थात SO = OQ तथा PO = OR

उपपत्ति :

अब , △ADC में,

S भुजा AD का मध्य बिंदु है तथा R भुजा DC का मध्य बिंदु है।

हम जानते हैं कि किसी त्रिभुज में दो भुजाओं के मध्य बिंदु को मिलाने वाले रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है।

∴ मध्य बिंदु प्रमेय से,  

SR || AC तथा SR = ½ AC........(i)

इसी प्रकार ,  △ABC में,  

P भुजा AB का मध्य बिंदु है तथा Q भुजा BC का मध्य बिंदु है।

∴ मध्य बिंदु प्रमेय से,  

PQ || AC तथा PQ= 1/2AC........(ii)

अब समी (i) तथा (ii) से  

PQ || SR   तथा PQ = SR  = 1/2AC

∴ चतुर्भुज PQRS एक समांतर चतुर्भुज है जिसके विकर्ण SQ तथा PR है।

साथ ही हम जानते हैं कि किसी समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित  करते हैं । इसलिए SQ तथा PR एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

आशा है कि यह उत्तर आपकी मदद करेगा।।।।

 

इस पाठ से संबंधित कुछ और प्रश्न :

एक समांतर चतुर्भुज ABCD में E और F क्रमश: भुजाओं AB और CD के मध्य-बिंदु हैं देखिए आकृति 8.31)। दर्शाइए कि रेखाखंड AF और EC विकर्ण BD को समत्रिभाजित करते हैं।

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ABCD एक समलंब है, जिसमें $AB \parallel DC$ है। साथ ही, BD एक विकर्ण है और E भुजा AD का मध्य-बिंदु है। E से होकर एक रेखा AB के समांतर खींची गई है, जो BC को F पर प्रतिच्छेद करती है (देखिए आकृति 8.30)। दर्शाइए कि F भुजा BC का मध्य-बिंदु है।

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